热门试卷

（1）依题意可设椭圆方程为  ，则右焦点，

由题设，解得，

故所求椭圆的方程为。

设，P为弦MN的中点，

由  得 ，

直线与椭圆相交，

 ，①  

，从而，

 ，又，则：

 ，即 ，   ②

把②代入①得  ，解得 ， 

由②得，解得。

综上求得的取值范围是。    

（1）设点的坐标分别为，

则

故，可得，    …………………2分

所以，…………………4分

故，

所以椭圆的方程为，　 　　　    　……………………………6分

（2）设的坐标分别为，则，

又，可得，即，  …………………8分

又圆的圆心为半径为，

故圆的方程为，

即，

也就是，                 ……………………11分

令，可得或2，

故圆必过定点和，　　　　　　　　     　……………………13分

（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）

（1）设点的坐标为。                                    （1分）

由题意，可得，，，，（3分）

由与垂直，得，即（）。    （6分）

因此，所求曲线的方程为（）。

（2）因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、，所以的斜率不为零，故设直线的方程为。                                （7分）

于是、的坐标、为方程组的实数解。

消并整理得，　　　　                          　（8分）

于是进一步得　　　       　　　　　（10分）

又因为曲线（）的准线为，

所以，得证。 （12分）

（3）由（2）可知，，。

于是，

（16分）可求得的取值范围为。                    （18分）

（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是

以原点为顶点，为焦点的抛物线………（2分）

∵

∴

∴　曲线方程是      ………（4分）

（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、

此时   ………（6分）

当不平行于轴时，设其斜率为，

则由  得

设则有，  ………（8分）

∴

   ………（10分）

（3）设

∴   ………（12分）

∵

∴

∵，化简得

∴  ………（14分）

当且仅当 时等号成立

∵

∴当的取值范围是………（16分）

（1）当时，直线的倾斜角为，

所以：…………3分

解得：，……5分

所以椭圆方程是：；……6分

（2）当时，直线的方程为：，此时，M,N点的坐标分别是，又点坐标是（-2,0），由图可以得到P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6，猜测当 变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，……………………8分

证明如下：设点M,N点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，…………………11分

从而：

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6。……………13分

（1）依据题意，有。

∵，

∴。

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是。

（2）因直线过点，且斜率为，

故有，联立方程组，得。

设两曲线的交点为、，可算得。

又，点与点关于原点对称，

于是，可得点、。

若线段、的中垂线分别为和，则有，。

联立方程组，解得和的交点为。

因此，可算得，

。

所以，四点共圆，圆心坐标为，半径为。

（1）易知椭圆的右焦点坐标为。

由抛物线的定义，知P点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线。

所以，动点P的轨迹C的方程为。  ……………………………………4分

（2）由题意知，直线AB的方程为。

代入，得。

设，则。

因为点始终在以线段为直径的圆内，

为钝角。

又，，

，。

即，

。

因此，

。

综上，实数的取值范围是。

（3）设过点的直线方程为，代入，得

，设，则，。

于是。

的中点坐标为

又

。

设存在直线满足条件，则。

化简，得。

所以，对任意的恒成立，

所以

解得，。

所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切，…………13分

（1）当时，直线的倾斜角为，所以：…………3分

解得：，……5分      所以椭圆方程是：；……6分

（2）当时，直线的方程为：，此时，M,N点的坐标分别是，又点坐标是（-2,0），由图可以得到P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6，猜测当 变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，……………………8分

证明如下：设点M,N点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，…………………11分

从而：

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6。……………13分

解析：

（1）解：设椭圆的半焦距为（），由（，）及

得，即；由得，即，所以

所以椭圆的标准方程为

（2）证明：若直线与轴垂直，则，的坐标分别为（，），（），

于是

  若直线的斜率存在，则设斜率为，

由（，）及，与点不重合知且  

设，，直线的方程为

与椭圆的方程联立消去得

得，   

  于是

综上得为定值2