热门试卷

（1）设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|，m0， m=-4t2，

 Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t2-，0)，

2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，

 x=4t2，y=2 t， y2=x，此即点P的轨迹方程；       6分。

（2）由（1），点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

=2=2      10分

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=

存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

解析：（1）设椭圆的标准方程为

由已知得，       ……………………2分

又点在椭圆上， 

椭圆的标准方程为                  ……………………4分

（2）由题意可知，四边形为平行四边形  =4

设直线的方程为，且

由得

          ……………………6分

=+==

== …………………………8分

令，则   ==，……… 10分

又在上单调递增

  的最大值为

所以的最大值为6.            ………………………………12分

（1），

的重心是,由三角形重心的性质知：

，

∴椭圆E的方程为:

（2）设点，由得直线CD的直线方程为

由方程组消去，整理得

由已知得：，解得

解析：（1）设的标准方程分别为：

和代入抛物线方程中得到的解相同，…………………………2分，

且和在椭圆上，代入椭圆方程得故的标准方程分别为　　　　　　　　　　　　　…………………………5分

（2）设直线的方程为将其代入消去并化简整理得

与相切，

…………………………7分，

设切点则又直线与的准线的交点以为直径的圆的方程为

…………………………10分，

化简并整理得恒成立，故即存在定点合题意。　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………12分

（1）依题可设得椭圆的方程为。

直线的方程分别为

设，其中，且满足方程，故

由知

点在直线上得

所以，化简得：，解得

（2）解法1：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为：

又，所以四边形的面积为

当，即时，上式取等号。所以的最大值为。

解法2：由题设，。

设，由①得，故四边形的面积为当时，上式取等号。所以的最大值为。

(1)由已知，圆的圆心为，半径.

由题设圆心到直线的距离，即，

解得，.………………3分

设与抛物线的切点为，又，得，.

代入直线方程得：，

∴，.………………5分

(2)由(1)知抛物线方程为，焦点.

设，由(1)知以为切点的切线的方程为.

令，得切线交y轴的B点坐标为

所以，，

∴，

∴，即点在定直线上.……………8分

(3)设直线，代入

得，设，的横坐标分别为，

则，

∴；

∵，

∴，即△的面积S范围是.  ……………13分

（1）由，

解得，，

因为，所以。

设，则，

化简得，……5分

又，联立方程组，解得，或。

因为平分，所以不合，故

（2）设，，由，得。

，，，

若存常数，当变化时，恒有，则由（1）知只可能。

①当时，取，等价于，

即，

即，

即，此式恒成立。

所以，存常数，当变化时，恒有，

②当时，取，由对称性同理可知结论成立。

故，存常数，当变化时，恒有，

解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，

∴，即抛物线的方程为  。----------------------------------------------2分

（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，

设，，

∴，   ∴ ，

∴。    。---------------------------6分

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，

联立方程组，得，

∵   ∴，。

同理可得，，∴。---------------------------6分

（3）法一：设，∵，∴，

可得，直线的方程为，

同理，直线的方程为，

∴，，

∴直线的方程为，  令，可得，

∵关于的函数在单调递增，   ∴。------------------------------12分

法二：设点，，。

以为圆心，为半径的圆方程为，........................................................................................................................................ ①

⊙方程：。....................................................... ②

①-②得：直线的方程为。

当时，直线在轴上的截距，

∵关于的函数在单调递增，   ∴。 ------------------------12分

（1）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.

，当且仅当时取等号.

由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为.

（2）设交点，过交点的直线与椭圆相切.

（i）当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为.   

（ii）当斜率存在且非零时，则设斜率为，则直线：，

与椭圆方程联立消，得：.

由相切，，

化简整理得. ①

因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程①的两根，

故，整理得：.

又也满足上式，

故点的轨迹方程为，即点在定圆上.