圆锥曲线的综合问题_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知圆P:x2+y2=4y及抛物线S:x2=8y,过圆心P作直线 l,此直线与上述两条曲线的四个交点,自左向右顺次记为A,B,C,D,如果|AB|,|BC|,|CD|按此顺序构成一个等差数列,则直线l的斜率为(　　).

A±

B

C±

D

正确答案

A

解析

由题意可知,圆P的圆心坐标为(0,2),半径为2,抛物线S的焦点为(0,2),准线方程为y=-2,画出图象如图所示,其中|BC|=4.由于|AB|,|BC|,|CD|成等差数列,所以|AB|+|CD|=8,所以|AB|+|BC|+|CD|=12,则所求问题等价于当过抛物线S的焦点的直线被抛物线所截得的线段的长度为12时,求直线的斜率.设A(x1,y1),D(x2,y2),过A,D分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A',D'.根据抛物线定义得|AP|=|AA'|=y1+2,|DP|=|DD'|=y2+2,所以|AD|=|AP|+|DP|=y1+y2+4=12,得y1+y2=8.由题意可知,直线l的斜率存在,且不为0.设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=kx+2,即x=,代入抛物线方程,化简得y2-(4+8k2)y+4=0,故y1+y2=4+8k2=8,解得k=±.

知识点

等差数列的性质及应用直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为和，且与共线．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的

圆的内部，求实数m的取值范围．

正确答案

解：

（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得

∴，∵与共线， ∴，又

∴， ∴椭圆E的标准方程为

（Ⅱ）设,把直线方程代入椭圆方程，

消去y，得，,

∴,

（*）

∵原点O总在以PQ为直径的圆内，∴，即

又

由得，依题意且满足（*）

故实数m的取值范围是

解析

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知识点

平行向量与共线向量向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.如图，椭圆C：的焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B．抛物线C1、C2分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P．

（1）求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；

（2）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点，求的最小值．

正确答案

（1）由题意得A（a，0），B（0，）

∴ 抛物线C1的方程可设为；抛物线C2的方程可设为

由

代入得a = 4

∴ 椭圆方程为，抛物线C1：，抛物线C2：

（2）由题意可设直线l的方程为

由消去y得

由

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

∵

∴

∵

∴ 当时，其最小值为

解析

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知识点

平面向量数量积的运算椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（）

A

B

C3

D

正确答案

D

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；

（2）若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；

（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

正确答案

（1）2；

（2）证明略；

（3）证明略，面积为．

解析

（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，

圆心到直线的距离为，

，同理，

（2）由题知，直线关于原点对称，

因为圆的圆心为原点，

所以，

故四边形为平行四边形．

易知，点在对角线上．

联立解得，

由得

，

所以，

于是，

因为，

所以四边形为正方形．

（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为．

当直线的斜率不存在时，

设直线、的方程为，

因为在椭圆上，

所以，

由四边形为正方形，易知，，

直线、的方程为，

正方形的面积．

当直线的斜率存在时，

设直线、的方程分别为，

显然．

设，

联立得，

所以

代人，得

，

同理可得

，

因为为正方形，

所以

解得

因为，所以，

因此，直线与直线关于原点对称，

所以原点为正方形的中心

（由知，四边形为平行四边形）

由为正方形知，

即

代人得，解得（注：此时四边形为菱形）

由为正方形知，

因为直线与直线的距离为，

故

但，

由得

即，与矛盾．

所以，这与矛盾．

即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形．

综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．

考查方向

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力，是难题．解析几何的综合应用在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题，往往以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，涉及各类曲线的定义与方程、各类曲线的性质，与曲线的轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系等知识交汇命题．

解题思路

题（1），先找到两直线分单位圆成长度相等的四段弧的位置，求得所截得的弦长，然后利用原点到直线距离公式求得的值，从而求得的值；

题（2），先证四边形为平行四边形，再证对角线垂直且相等，从而证得四边形为正方形；

题（3），分类讨论说明椭圆的内接正方形有且只有一个．

易错点

找不到直线与圆或者椭圆的正确的位置关系，从而无法解题．

知识点

直线与圆相交的性质直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知圆与抛物线的准线交于A、B两点，且，则m的值为__________。

正确答案

8

解析

在平面直角坐标系中画出圆如图所示，据图可以知道CD=，因此抛物线的开口是向右的，其准线为．由AE=，OA＝２，得OE=1，因此准线，解得m=8。

考查方向

本题主要考查了抛物线的性质以及直线与圆的位置关系问题，同时考查了学生的数形结合以及分类讨论思想。

解题思路

根据题意画出合适的图形，然后结合图形进行分析和计算．

易错点

本题必须要对抛物线的标准方程和几何性质有深刻的认识，否则容易因为误认为准线为而出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为（）

A

B.

C

D

正确答案

B

解析

利用交点这一突破口，建立方程关系，进而求出a和c的关系，所以得到离心率为，所以选B

考查方向

直线与圆的方程、圆锥曲线双曲线的渐近线与离心率、余弦定理

解题思路

先设交点坐标，与渐近线联立方程组，最后用余弦定理求得

易错点

计算错误、离心率、渐近线方程错误

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知圆与抛物线的准线交于A、B两点，且，则m的值为__________。

正确答案

8

解析

试题分析：由知圆心到抛物线准线的距离为1，所以，解得或，由题意知，故此题答案为8。

考查方向

本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．

解题思路

由知圆心到抛物线准线的距离为1，所以，解得或，由题意知。

易错点

对题所给条件不知如何应用导致本题没有思路。

知识点

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.如图，已知是双曲线的下，上焦点，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，为切点，若切线段被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，

由题意得，，，

所以

因为是的中点，

所以，

所以

而，

所以，

所以，故选B。

考查方向

此题主要考查圆的切线的性质，双曲线的几何性质以及对于几何图形的识图能力，意在考查考生的综合解题能力。

解题思路

1、选根据题中条件求出然后利用中位线得到，进而

2.利用渐近线的斜率得到，从而确定，最终确定答案。

易错点

1、无法将题中条件准确转化；

2.焦点在y轴上的双曲线的渐近线的方程与焦点在x轴上的渐近线方程不同，此点容易出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M,且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.

正确答案

（1）；

（2）.

解析

试题分析：本题第（1）问属于椭圆简单几何性质的应用，是基础知识；第（2）问是直线与圆、椭圆的位置关系的问题，常用解析几何的基本思想方法求解，运算量比较大，需要考生在计算过程中认真、细心。解答过程如下：

（1）由

解得c=1，a=2， ∴， ∴椭圆方程为；

（2）法一：①当PM⊥x轴时，P，Q，

由解得

②当PM不垂直于x轴时，设，PQ方程为，即

∵PQ与圆O相切，∴，∴

∴

又，所以由得

∴

==12，∴

综上：

法二：设，则直线OQ：，∴，

∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ，

∴ ，

∴，

∴，∴，

∵，∴，∴，

∴

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程与几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

解题思路

1、第（1）问根据椭圆的标准方程以及几何性质，通过待定系数的方法即可求解；

2、第（2）问可以通过直线与圆的位置关系、直线垂直的条件，利用向量作为工具进行求解；

易错点

本题在解答第二问时往往会忽略考虑直线的斜率不存在的情况而导致错误的出现。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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