圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

正确答案

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ,则双曲线的离心率是( )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意得直线的方程为，即，以A1A2为直径的圆内切于菱形以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 可知圆心到直线的距离等于a，所以，化简得，两边同除以得到，所以，故选C。

考查方向

本题主要考查双曲线的性质，直线与圆的位置关系等知识，意在考查考生树形结合、综合处理问题的能力。

解题思路

1.先将直线的方程表示出来，找到以A1A2为直径的圆的圆心和半径；

2.根据直线与圆相切得到，进而可求出离心率。

易错点

不会转化题中的条件：以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B22.在由求解离心率的运算中出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．

正确答案

解析

双曲线的渐近线方程为，圆可化为，得到其圆心为（3,0），半径为2.由双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2可知，圆心（3,0）到渐近线的距离为，所以，解得，所以，即双曲线的离心率为。

考查方向

本题主要考查双曲线的渐近线方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等知识，意在考查考生运算求解能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先求出圆心到双曲线渐近线的距离；

2.利用点到直线的距离公式表示出，进而求出a，b的关系，最后求出离心率。

易错点

1.渐近线的方程求错；

2.不会数形结合由弦长转化为求点到直线的距离。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与椭圆

交于第一、二象限内的两点分别为、，若的外接圆的圆心为，则双曲线的离心率为

正确答案

解析

.

根据题意写出渐近线方程

所以

考查方向

本题主要考察了，双曲线的几何性质，椭圆的定义及其标准方程，考察了与圆有关的问题，考察了两点间距离公式

解题思路

该题思路比较清晰，主要有以下几个步骤1、求双曲线的渐近线2、根据圆的性质求出圆的方程3、渐近线与椭圆联立求出AB点坐标4、利用圆心到A的距离等于半径求出关系式

易错点

本题易错点主要集中在，1、渐近线的表达，2、外接圆的几何性质

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知抛物线的焦点，其准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为．

（Ⅰ）证明：点在直线上；

（Ⅱ）设，求内切圆的方程．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）由题可知，抛物线的方程为

则可设直线的方程为，，

故整理得，故

则直线的方程为即

令，得，所以在直线上．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，

又，

故，

则，故直线的方程为或

，

故直线的方程或，又为的平分线，

故可设圆心，到直线及的距离分别为

由

得或（舍去）．故圆的半径为

所以圆的方程为．

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用e及对称性求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ），．

解析

试题分析：本题属于解析几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意直线不存在斜率的特殊情况，（3）要注意计算结果去正确性

（Ⅰ）解：由题意，得，，

又因为点在椭圆上，

所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为．

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为．

当直线的斜率存在时，设的方程为．

由方程组得，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以，即．

由方程组得，

则．

设，，则，，

设直线，的斜率分别为，，

所以

，

将代入上式，得．

要使得为定值，则，即，验证符合题意．

所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值．

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时，圆与的交点也满足．

综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值．

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要分以下几类：

1．直线与圆锥曲线的公共点个数问题，

2．弦长问题，

3．中点弦问题．

解题思路

本题考查直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

1．利用待定系数法求出椭圆的标准方程；

2．假设存在，设出圆的方程与直线方程；

3．联立直线与椭圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用判别式为0求得的关系；

4．联立直线与圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用平面向量的数量积求解；

5．讨论直线斜率不存在的情况，得到结论。

易错点

1、第二问中，联立直线与圆的方程得到关于关于的一元二次方程后，要注意验证判别式为正值；

2、第二问中，不要忘记“直线无斜率”的特殊情况。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若圆与曲线的没有公共点，则半径的取值范围是

A B． C． D．

正确答案

A

考查方向

本题主要考查了圆与函数的综合应用，分式函数最值求法的应用等相关知识，意在考考生逻辑思维能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数等知识点交汇命题，较难。

易错点

1、本题易在理解题意上出现错误。

知识点

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

正确答案

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知椭圆方程：，双曲线：的渐近线分别为，若椭圆上某点的切线与直线相交，设交点分别交于,则的面积的最小值为（）

A1

B

C

D2

正确答案

B

解析

设椭圆的点为，故切线方程为，联立进而，故，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了圆锥曲线的切线方程、面积计算和函数的最值问题,属于难度较大的题，常考求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

易错点

本题难在方程的合理假设与面积的计算易在集合的交并补运算上出问题。

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．

连PF2，M为线段F1P的中点，

O为坐标原点∴OM=PF2，

∴|MO|-|MT|=PF2-（ MF1-F1T）=（PF2-MF1）-b==a-b．

点评：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查双曲线与圆的知识

易错点

本题易在利用双曲线定义时发生错误。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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正确答案

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