圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的

A必要不充分条件

B充分不必要条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

知识点

充要条件的应用直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点

(1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

(2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率

正确答案

(1)由已知,

取，得

∵,

∴

即

∴

∴渐近线方程为

(2)若，则双曲线为

∴,

设, ，则

, ,

∴

(*)

∵

∴

∴代入(*)式，可得

直线的斜率存在，故

∴

设直线为，代入

得

∴，且

∴

∴直线的斜率为

知识点

双曲线的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（＞0）交与M,N两点，

25.当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

26.y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）或

解析

（Ⅰ）由题设可得，，或，.

∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为

，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为

，即.

故所求切线方程为或.

考查方向

本题考查了抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力。

解题思路

（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.

易错点

本题在用导数求方程过程中易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）存在

解析

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.

将代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.

考查方向

本题考查了抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力。

解题思路

（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.

易错点

本题在用导数求方程过程中易错，在直线和曲线的位置关系中易错。

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题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，时，求△AMN的面积；

（II）当时，求k的取值范围.

正确答案

（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

（II）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 13 分

（本小题满分13分）

已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.

正确答案

（I）由已知，，则椭圆E的方程为.

有方程组得.①

方程①的判别式为，由，得，

此方程①的解为，

所以椭圆E的方程为.

点T坐标为（2,1）.

（II）由已知可设直线的方程为，

有方程组可得

所以P点坐标为（），.

设点A，B的坐标分别为 .

由方程组可得.②

方程②的判别式为，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常数，使得.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

平面直角坐标系中，已知椭圆C: 的离心率为且点,) 在椭圆C上.

24.求椭圆C的方程；

25.设椭圆E:,P为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

(i)求的值；

(ii)求面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

（I）由题意知，则，

又，可得 ,

所以椭圆的方程为.

考查方向

本题考查椭圆的方程和性质。

解题思路

（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；

易错点

椭圆方程中系数的求解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

2，

解析

【解析】（II）由（I）知椭圆的方程为

（i）设,由题意知，

因为,又，即 ,

所以，即.

（ii）设，

将代入椭圆的方程，

可得，

由，可得

则有

所以

因为直线与轴交点的坐标为，

所以的面积

令,将代入椭圆的方程，

可得，

由，可得

由①②可知，

因此，故，

当且仅当时，即时取得最大值，

由（i）知，面积为，

所以面积的最大值为.

考查方向

主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．

解题思路

（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．

易错点

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

18．如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；

（2）若.

①求证：；

②求的最大值.

正确答案

（1）圆的方程为.（2）详见解析

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，题目的难度较大，（1）直接求圆心和半径（2）证明定值问题时，要先表示出来，再通过计算化简得到（3）的最大值涉及到基本不等式，要能正确地使用基本不等式。

（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为.

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而.

②设点，联立，

解得，

同理，，

所以

，当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

考查方向

本题考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题时，常规思路是先把直线与椭圆联立方程组，消元、化简，然后应用根与系数的关系代入化简，从而解决相关问题。

易错点

1、第二问中证明，计算不出来常数。

2、第三问中求时，计算错误，同时使用基本不等式时有一定的难度。

知识点

圆的一般方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知抛物线C：的焦点F也是椭圆C;的一个焦点，C与C的公共弦的长为2，过点F的直线与C相交于A,B两点，与C相交于C,D两点，且与同向。

24.求C的方程

25.若|AC|=||求直线的斜率。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由:知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，

所以 1又与的公共弦的长为2，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以 2，联立1，2得=9，=8，故的方程为 3；

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系，意在考察考生的综合解决问题的能力。

解题思路

根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；

易错点

不会转化题中给出的条件与的公共弦的长为2

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系，意在考察考生的综合解决问题的能力。

易错点

1.第（2）问联立方程运算出错；

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）

A

B

C2

D

正确答案

C

解析

由题意得 F（c，0 ），由切点为M为线段FP的中点可知，OM是△FOP的底边FP的中线也是高线，故FPO为等腰直角三角形，∴点P（0，c ），由中点公式得M，把M代入圆，即,

∴所以选项C为正确选项

考查方向

本题主要考查了双曲线几何性质,属于中档题，是高考的热点

解题思路

判断FPO为等腰直角三角形，由中点公式得M代入圆的方程求得离心率

易错点

本题易在无法判断FPO为等腰直角三角形，找不出等量关系

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为

24.求椭圆的方程；

25.设直线与椭圆相交于两点，以线段为邻边作平行四边形，其中点在椭圆上，为坐标原点．求点到直线的距离的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，由方程思想求解出标准方程；由已知设椭圆的方程为，则．

由，得．∴椭圆的方程为．

考查方向

本题考查了求椭圆的方程和最值问题，属于高考的热点问题，圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度、“定”问题——定点、定线和定值以及与函数思想结合求最值。

解题思路

本题考查圆锥曲线中求标准方程的方法和最值问题——函数思想，解题步骤如下：由方程思想求解出标准方程；

易错点

无法构建关于点到直线的距离的函数表达式。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（构建关于点到直线的距离的函数表达式：当直线斜率存在时，设直线方程为．

则由消去得．

．①

设点的坐标分别是．

∵四边形为平行四边形，∴．

．由于点在椭圆上，∴．

从而，化简得，经检验满足①式．

又点到直线的距离为．

当且仅当时等号成立．

当直线斜率不存在时，由对称性知，点一定在轴上．

从而点的坐标为或，直线的方程为，∴点到直线的距离为．

∴点到直线的距离的最小值为．

考查方向

本题考查了求椭圆的方程和最值问题，属于高考的热点问题，圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度、“定”问题——定点、定线和定值以及与函数思想结合求最值。

解题思路

本题考查圆锥曲线中求标准方程的方法和最值问题——函数思想，解题步骤如下：构建关于点到直线的距离的函数表达式。

易错点

运算和斜率不存在的讨论。

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