圆锥曲线的综合问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．已知抛物线，椭圆经过点，它们在轴上有共同的焦点，椭圆对称轴为坐标轴．

（1）求椭圆的标准方程

（2）设为正实数，当点在椭圆上运动时，求的最小值．

正确答案

（1）焦点，∴ ，，

∴ 椭圆的方程为

（2）设

∴

当时，

当时，，

∴

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知识点

椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

2

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．如图:切⊙O于点，，过圆心，且与圆相交于、两点，，则圆O的半径为___________．

正确答案

3

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知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题

3

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆上的任意一点到它两个焦点的距离之和为，且它的焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆交于不同两点，且线段的中点不在圆内，求实数的取值范围.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

4

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

正确答案

（1）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1

圆C：．设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为：，

即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点F1的横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点F1的横坐标为－4，∴c＝4．，

2a＝|AF1|＋|AF2|＝，，a2＝18，b2＝2．

椭圆E的方程为： 2

（2），设Q（x，y），，．

∵，即，而，∴－18≤6xy≤18

所以，的取值范围是[0，36]

的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]

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知识点

平面向量数量积的运算椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

5

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．如图，CE为圆O的直径，PE为圆O的切线，E为切点，PBA为圆O的割线，交CE于D点，CD=2，AD=3，BD=4，则圆O的半径为 _______；PB=_______.

正确答案

4；20

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知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题

6

题型：简答题

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简答题 · 9 分

26．已知圆同时满足下列三个条件： ① 与轴相切；② 在直线上截得弦长为；③ 圆心在直线上，求圆的方程．

正确答案

设所求的圆与直线交于、两点，

因为圆心在直线上，所以设圆心坐标为．

又圆与轴相切，所以圆的半径．

从而圆心到直线的距离为=．

又，，

在Rt△中，由，

解得．

所以圆心的坐标为或．

故所求圆的方程为或．

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圆锥曲线中的范围、最值问题

7

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．

正确答案

（1）设，则处的切线方程为

所以，

所以；即为等腰三角形

又为线段的中点，所以，得：

所以，

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，所以面积……①

设的方程为，则

由，得代入①

得：，使面积最小，则得到②

令，②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

8

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知动点分别在轴、轴上，且满足，点在线段上，且（是不为零的常数）。设点的轨迹为曲线。

（1）求点的轨迹方程；

（2）若，点是上关于原点对称的两个动点（不在坐标轴上），点，求的面积的最大值。

正确答案

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知识点

向量数乘的运算及其几何意义直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

9

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆C: 的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设斜率不为零的直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值。

（3）若过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于P, Q两点，如果 (O为坐标原点)，且满足，求实数t的取值范围．

正确答案

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知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

10

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．如图，已知圆，经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C，D两点，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围。

正确答案

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椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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