热门试卷

（I）

　，

其定义域为

（II）梯形面积的最大值为

解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，

解得

，

其定义域为．

（II）记，

则．

令，得．

因为当时，；当时，，所以是的最大值．

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．

（1），（2），(3) ．

试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法.由题意得及，因此可解得，.（2）圆的弦长问题，通常化为直角三角形，即半径、半弦长、圆心到直线距离构成一个直角三角形. 圆心为,圆心到直线的距离，因此，，所求圆的方程为． (3)涉及定值问题，一般通过计算，以算代证.本题有两种算法，一是利用射影定理，只需求出点在上射影的坐标，即由两直线方程得，因此.二是利用向量坐标表示，即设，根据两个垂直，消去参数t,确定.

试题解析：（1）由点在直线上，得，

故， ∴． 从而．                 2分

所以椭圆方程为．                            4分

（2）以为直径的圆的方程为．

即． 其圆心为,半径．    6分

因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，

所以圆心到直线的距离．

所以，解得．所求圆的方程为．  9分

（3）方法一：由平几知：，

直线，直线，

由得．

∴．

所以线段的长为定值．                                     13分

方法二：设，

则．

．

又．

所以，为定值．                             13分

（1）由题意设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，

因为M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为8

所以，4a=8，×b×2c=4

∴，

∴b=c=2，a=2，

∴所求的椭圆方程为+=1．

（2）假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切．

设圆Q的半径为r，点P（x0，y0），

因为圆Q与直线PF1，PF2都相切，所以PQ为∠F1PF2的角平分线，

∴=，∴=

∴|PF1|=|QF1|

∵|QF1|=3，∴|PF1|=3

∴解得x0=2，y0=±

当P（2，）时，直线PF1的方程为：x-2y+2=0，Q到直线PF1的距离==1；直线PF2的方程为x-2=0，该圆与直线PF2相切；当P（2，-）时，直线PF1的方程为：x+2y+2=0，Q到直线PF1的距离==1；直线PF2的方程为x-2=0，该圆与直线PF2相切；

所以存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切，点P（2，±），圆的方程为：（x-1）2+y2=1．