热门试卷

解:（I）∵点在圆上，为一直角三角形

由椭圆的定义知：， 

………………………………5分

（II）∵函数 的图象恒过点

∴  点， 

①若轴，则

∴ …………7分[

②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则的方程为

由消去得…………（*）

方程（*）有两个不同的实根.

设点，则是方程（*）的两个根

 ………………9分

………………11分

由①②知 ………………………………12分

略

略

(1) R的轨迹方程为： x2+y2=a2(y≠0) (2)

(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，

∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|

又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).

|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

又

得x1=2x0－c,y1=2y0。 

∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.

故R的轨迹方程为： x2+y2=a2(y≠0)

(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB

当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.

此时弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

（1）；（2） ，或..

试题分析：（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，由题意知解得，即可求出的方程；（2） 由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.

由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由 得，因由题意知，所以 ，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.

（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，

由题意知

解得，故方程为.

（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.

由在上，得，

显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点

由 得，又是方程的根，因此 ，由得

因由题意知，所以 ，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.

(Ⅰ)  (Ⅱ)   (Ⅲ)三角形的面积为定值

（1）

椭圆的方程为 ………………3分

（2）设AB的方程为

由………………5分

由已知

   ………………6分

………………7分

（Ⅲ）

（2）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB="1    "

当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b

………………10分

………………12分

所以三角形的面积为定值. ………………14分

(1) f(m)=，m∈［2,5］ (2) f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5

 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1

∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考虑方程组,消去y得:(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)

整理得:(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0

Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)

∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|

又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5)

故f(m)=，m∈［2,5］.

(2)由f(m)=，可知f(m)= 

又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］

故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.