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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为,过的直线 与椭圆交于两点。

(Ⅰ)若点在圆为椭圆的半焦距)上,且,求椭圆的离心率;

  (Ⅱ)若函数的图象,无论为何值时恒过定点,求的取值范围。

正确答案

解:(I)∵点在圆上,为一直角三角形

由椭圆的定义知: 

………………………………5分

(II)∵函数 的图象恒过点

  点, 

①若轴,则

 …………7分[

②若轴不垂直,设直线的斜率为,则的方程为

消去…………(*)

方程(*)有两个不同的实根.

设点,则是方程(*)的两个根

 ………………9分

 

 

………………11分

由①②知 ………………………………12分

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题型:填空题
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填空题

椭圆的两焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,

则△ABF2周长为_____________.

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线  在y轴上的截距为m(m≠0),直线交椭圆于A、B两个不同点。

(1)求椭圆的方程;

(2)求m的取值范围;

正确答案

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆=1(ab>0),点P为其上一点,F1F2为椭圆的焦点,∠F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为QF2Ql于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;

(2)设点R形成的曲线为C,直线l: y=k(x+a)与曲线C相交于AB两点,当△AOB的面积取得最大值时,求k的值.

正确答案

(1) R的轨迹方程为: x2+y2=a2(y≠0) (2)

(1)∵点F2关于l的对称点为Q,连接PQ

∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|

又因为l为∠F1PF2外角的平分线,故点F1PQ在同一直线上,设存在R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0).

|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

x1=2x0c,y1=2y0。 

∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2.

R的轨迹方程为: x2+y2=a2(y≠0)

(2)如右图,∵SAOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB

当∠AOB=90°时,SAOB最大值为a2.

此时弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中,∠AOC=45°,

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题型:简答题
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简答题

的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.

(1)求的方程;

(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.

正确答案

(1);(2) ,或..

试题分析:(1)设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为 ,由题意知解得,即可求出的方程;(2) 由(1)知的焦点坐标为,由此的方程为,其中.

上,得,显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点 得,因由题意知,所以 ,将韦达定理得到的结果代入式整理得,解得,即可求出直线l的方程.

(1)设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为 ,

由题意知

解得,故方程为.

(2)由(1)知的焦点坐标为,由此的方程为,其中.

上,得

显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点

 得,又是方程的根,因此 ,由

由题意知,所以 ,将①,②,③,④代入⑤式整理得,解得,因此直线l的方程为,或.

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题型:填空题
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填空题

椭圆Γ:  +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于    .

正确答案

-1

直线y=(x+c)过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,

所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,

所以∠F1MF2=90°,

所以F1M⊥F2M,

在Rt△F1MF2中,

|MF1|=c,|MF2|=c,

所以e=====-1.

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)

已知椭圆的标准方程为,过点的双曲线的实轴的两端点恰好是椭圆的两焦点,求双曲线的标准方程.

正确答案

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题型:简答题
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简答题

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆=1(a>b>0)上的两点,已知向量m() ,n(),若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点:

(Ⅰ)求椭圆的方程:

(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(为半焦距),求直线AB的斜k率的值:

(Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?

正确答案

(Ⅰ)  (Ⅱ)   (Ⅲ)三角形的面积为定值

(1)

椭圆的方程为 ………………3分

(2)设AB的方程为

………………5分

由已知

   ………………6分

………………7分

(Ⅲ)

(2)当A为顶点时,B必为顶点.S△AOB="1    "

AB不为顶点时,设AB的方程为y=kx+b

………………10分

………………12分

所以三角形的面积为定值. ………………14分

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题型:简答题
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简答题

如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为ABCD,设f(m)=||AB|-|CD||

(1)求f(m)的解析式;

(2)求f(m)的最值.

正确答案

(1) f(m)=m∈[2,5] (2) f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为,此时m=5

 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为abc,则a2=m,b2=m-1,c2=a2b2=1

∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x,即xm.

A(-m,-m+1),D(m,m+1)

考虑方程组,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)

整理得:(2m-1)x2+2mx+2mm2=0

Δ=4m2-4(2m-1)(2mm2)=8m(m-1)2

∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=.

又∵ABCD都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xBxA|==(xBxA,|CD|=(xDxC)

∴||AB|-|CD||=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)-(xA+xD)|

又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|-|CD||=|xB+xC=|= (2≤m≤5)

f(m)=m∈[2,5].

(2)由f(m)=,可知f(m)= 

又2-≤2-≤2-,∴f(m)∈[

f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为,此时m=5.

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题型:简答题
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简答题

设椭圆的左、右焦点分别,点是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,的周长为16.

(I)求椭圆的方程;

(2)求过点且斜率为的直线被椭圆所截的线段的中点坐标.

正确答案

(1)(2)

试题分析:(1)利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出;

(2)把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出.

试题解析:(1)设椭圆的半焦距为,则由题设得,         3分

解得,所以,             5分

故所求的方程为.                    6分

(2)过点且斜率为的直线方程为,         8分

将之代入的方程,得,即.               10分

设直线与椭圆有两个交点

因为,所以线段中点的横坐标为

纵坐标为 .                        11分

故所求线段的中点坐标为.                   12分.

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