- 椭圆
- 共5181题
(本题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为
,过的直线
与椭圆交于
两点。
(Ⅰ)若点在圆
(
为椭圆的半焦距)上,且
,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若函数
且
的图象,无论
为何值时恒过定点
,求
的取值范围。
正确答案
解:(I)∵点在圆
上,
为一直角三角形
由椭圆的定义知:,
………………………………5分
(II)∵函数 的图象恒过点
∴ 点
,
①若轴,则
∴ …………7分[
②若与
轴不垂直,设直线
的斜率为
,则
的方程为
由消去
得
…………(*)
方程(*)有两个不同的实根.
设点,则
是方程(*)的两个根
………………9分
………………11分
由①②知 ………………………………12分
略
椭圆的两焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,
则△ABF2周长为_____________.
正确答案
16
略
(本小题满分12分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m≠0),直线
交椭圆于A、B两个不同点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
正确答案
略
已知椭圆=1(a>b>0),点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,∠F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;
(2)设点R形成的曲线为C,直线l: y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点,当△AOB的面积取得最大值时,求k的值.
正确答案
(1) R的轨迹方程为: x2+y2=a2(y≠0) (2)
(1)∵点F2关于l的对称点为Q,连接PQ,
∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|
又因为l为∠F1PF2外角的平分线,故点F1、P、Q在同一直线上,设存在R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0).
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.
又
得x1=2x0-c,y1=2y0。
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2.
故R的轨迹方程为: x2+y2=a2(y≠0)
(2)如右图,∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=
sinAOB
当∠AOB=90°时,S△AOB最大值为a2.
此时弦心距|OC|=.
在Rt△AOC中,∠AOC=45°,
圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线
过点P且离心率为
.
(1)求的方程;
(2)椭圆过点P且与
有相同的焦点,直线
过
的右焦点且与
交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求
的方程.
正确答案
(1);(2)
,或
..
试题分析:(1)设切点坐标为,则切线斜率为
,切线方程为
,即
,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
.由
知当且仅当
时
有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为
,由题意知
解得
,即可求出
的方程;(2) 由(1)知
的焦点坐标为
,由此
的方程为
,其中
.
由在
上,得
,显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+
,点
由
得
,因
由题意知
,所以
,将韦达定理得到的结果代入
式整理得
,解得
或
,即可求出直线l的方程.
(1)设切点坐标为,则切线斜率为
,切线方程为
,即
,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
.由
知当且仅当
时
有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为
,
由题意知
解得
,故
方程为
.
(2)由(1)知的焦点坐标为
,由此
的方程为
,其中
.
由在
上,得
,
显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点
由 得
,又
是方程的根,因此
,由
得
因由题意知
,所以
,将①,②,③,④代入⑤式整理得
,解得
或
,因此直线l的方程为
,或
.
椭圆Γ: +
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=
(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .
正确答案
-1
直线y=(x+c)过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,
所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,
所以∠F1MF2=90°,
所以F1M⊥F2M,
在Rt△F1MF2中,
|MF1|=c,|MF2|=c,
所以e==
=
=
=
-1.
(本题满分12分)
已知椭圆的标准方程为,过点
的双曲线的实轴的两端点恰好是椭圆的两焦点,求双曲线的标准方程.
正确答案
设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆=1(a>b>0)上的两点,已知向量m(
) ,n(
),若m·n=0且椭圆的离心率e=
,短轴长为2,O为坐标原点:
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(为半焦距),求直线AB的斜k率的值:
(Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?
正确答案
(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)三角形的面积为定值
(1)
椭圆的方程为 ………………3分
(2)设AB的方程为
由………………5分
由已知
………………6分
………………7分
(Ⅲ)
(2)当A为顶点时,B必为顶点.S△AOB="1 "
当A,B不为顶点时,设AB的方程为y=kx+b
………………10分
………………12分
所以三角形的面积为定值. ………………14分
如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||
(1)求f(m)的解析式;
(2)求f(m)的最值.
正确答案
(1) f(m)=,m∈[2,5] (2) f(m)的最大值为
,此时m=2;f(m)的最小值为
,此时m=5
(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1
∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).
故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.
∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)
考虑方程组,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)
整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2
∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=.
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∴|AB|=|xB-xA|==(xB-xA)·
,|CD|=
(xD-xC)
∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=
|(xB+xC)-(xA+xD)|
又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0
∴||AB|-|CD||=|xB+xC|·=|
|·
=
(2≤m≤5)
故f(m)=,m∈[2,5].
(2)由f(m)=,可知f(m)=
又2-≤2-
≤2-
,∴f(m)∈[
]
故f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为
,此时m=5.
设椭圆的左、右焦点分别
、
,点
是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,
的周长为16.
(I)求椭圆的方程;
(2)求过点且斜率为
的直线
被椭圆
所截的线段的中点坐标.
正确答案
(1)(2)
试题分析:(1)利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出;
(2)把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出.
试题解析:(1)设椭圆的半焦距为,则由题设得
, 3分
解得,所以
, 5分
故所求的方程为
. 6分
(2)过点且斜率为
的直线方程为
, 8分
将之代入的方程,得
,即
. 10分
设直线与椭圆有两个交点
,
因为,所以线段
中点的横坐标为
,
纵坐标为 . 11分
故所求线段的中点坐标为. 12分.
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