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题型:简答题
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简答题

(本小题共13分)已知椭圆的右焦点为为椭圆的上顶点,为坐标原点,且△是等腰直角三角形.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在直线交椭圆于两点, 且使点为△的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

正确答案

解:(Ⅰ)由△是等腰直角三角形,得

故椭圆方程为.                      …………5分

(Ⅱ)假设存在直线交椭圆于两点,且为△的垂心,

因为,故.                    …………7分

于是设直线的方程为

,得, 且,.   ……9分

由题意应有,又

整理得

解得.                              …………12分

经检验,当时,△不存在,故舍去

时,所求直线存在,且直线的方程为

…………13分

本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的相交问题,考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法:如果题目给出是何曲线,可根据题目条件,恰当的设出曲线方程,然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点,焦点在哪条对称轴上;“定式”是指根据“形”设出相应的椭圆方程的具体形式;“定量”是指利用定义法或待定系数法确定的值.本题第一问利用椭圆的离心率和直线与椭圆相切判别式为0得到两个等式求解的值;关于直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般先假设存在满足题意的元素,经过推理论证,如果得到可以成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量,则说明假设不成立.本题的第二问就是利用这个解题思路,借助韦达定理和距离公式进行转化和探索.

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分) 设椭圆 C1)的一个顶点与抛物线 C2 的焦点重合,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点 F2 的直线  与椭圆 C 交于 M,N 两点.

(I)求椭圆C的方程;

(II)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出直线  的方程;若不存在,说明理由;

(III)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN//AB,求证: 为定值.

正确答案

解(1)椭圆的标准方程为 

(2)直线的方程为 

(3)定值

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题型:简答题
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简答题

(本小题14分).已知椭圆离心率,焦点到椭圆上

的点的最短距离为

(1)求椭圆的标准方程。

(2)设直线与椭圆交与M,N两点,当时,求直线的方程。

正确答案

解:(1)由已知得

椭圆的标准方程为6分

(2)设

,8分

          10分

直线方程为14分

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题型:填空题
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填空题

中,. 若以为焦点的双曲线经过点

则该双曲线的离心率为        .              

正确答案

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本题考查双曲线的定义

中,设

由余弦定理得

所以

所以

则以为焦点且过点点的双曲线的焦距为,实半轴为

所以其离心率为

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分分)

已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,一个顶点为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)对于轴上的点,椭圆上存在点,使得,求的取值范围.

正确答案

(1)

(2)

解:(1)由题意可得,

.                                          ………………………………2分

∴所求的椭圆的标准方程为:.              ………………………………4分

(2)设,则

.            ①                       ………………………………5分 

,           ………………………………6分

可得,即

.    ②                  ………………………………7分 

由①、②消去整理得

.                        ………………………………9分 

.                     ………………………………11分

.                                    ………………………………13分

的取值范围为.                            ………………………………14分

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题型:简答题
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简答题

正确答案

本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。联立方程组,结合韦达定理以及椭圆的几何性质先求解出a,b的值然后利用弦长公式解得AB的长度。

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)

椭圆过点P,且离心率为,F为椭圆的右焦点,两点在椭圆上,且 ,定点(-4,0).

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)当时 ,问:MN与AF是否垂直;并证明你的结论.

(Ⅲ)当两点在上运动,且 =6, 求直线MN的方程.

正确答案

解:(Ⅰ)椭圆的离心率为

可得                   --2分

又椭圆过点P

解得,椭圆C的方程为-----  -----------4分

(Ⅱ)设

时,,          -----------5分

由M,N两点在椭圆上,

                 ---------6分

,则(舍去),   ------------7分

 .        ------------8分

(Ⅲ)因为=6.--9分

由已知点F(2,0), 所以|AF|="6, " 即得|yM-yN|=           ------------10分

当MN轴时,故直线的斜率存在.         ------------11分

不妨设直线MN的方程为:-----

联立               ------------12分

||=解得           ------------14分

此时,直线MN的方程为       ------------15分

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题型:填空题
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填空题

椭圆的左右焦点分别为,P为椭圆上一点,且

,则椭圆的离心率e=__________。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

如图,已知椭圆上两定点,直线与椭圆相交于A,B两点(异于P,Q两点)

(1)求证:为定值;

(2)当时,求A、P、B、Q四点围成的四边形面积的最大值。

正确答案

解: (1)设,联立直线与椭圆的方程

代入可得

=

(2)

为其面积的最大值。

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题型:填空题
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填空题

已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则  ▲   

正确答案

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