- 椭圆
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(本小题共13分)已知椭圆的右焦点为
,
为椭圆的上顶点,
为坐标原点,且△
是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线交椭圆于
,
两点, 且使点
为△
的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
正确答案
解:(Ⅰ)由△是等腰直角三角形,得
,
,
故椭圆方程为. …………5分
(Ⅱ)假设存在直线交椭圆于
,
两点,且
为△
的垂心,
设,
因为,
,故
. …………7分
于是设直线的方程为
,
由得
.
由,得
, 且
,
. ……9分
由题意应有,又
,
故,
得.
即.
整理得.
解得或
. …………12分
经检验,当时,△
不存在,故舍去
.
当时,所求直线
存在,且直线
的方程为
.
…………13分
本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的相交问题,考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法:如果题目给出是何曲线,可根据题目条件,恰当的设出曲线方程,然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点,焦点在哪条对称轴上;“定式”是指根据“形”设出相应的椭圆方程的具体形式;“定量”是指利用定义法或待定系数法确定
的值.本题第一问利用椭圆的离心率和直线与椭圆相切判别式为0得到两个等式求解
的值;关于直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般先假设存在满足题意的元素,经过推理论证,如果得到可以成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量,则说明假设不成立.本题的第二问就是利用这个解题思路,借助韦达定理和距离公式进行转化和探索.
(本题满分12分) 设椭圆 C1:(
)的一个顶点与抛物线 C2:
的焦点重合,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,离心率
,过椭圆右焦点 F2 的直线
与椭圆 C 交于 M,N 两点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)是否存在直线 ,使得
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由;
(III)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN//AB,求证: 为定值.
正确答案
解(1)椭圆的标准方程为
(2)直线的方程为
或
(3)定值
略
(本小题14分).已知椭圆离心率
,焦点到椭圆上
的点的最短距离为。
(1)求椭圆的标准方程。
(2)设直线与椭圆交与M,N两点,当
时,求直线
的方程。
正确答案
解:(1)由已知得,
椭圆的标准方程为
6分
(2)设
由得
,8分
10分
直线方程为
14分
略
在中,
,
. 若以
、
为焦点的双曲线经过点
,
则该双曲线的离心率为 .
正确答案
2
本题考查双曲线的定义
由中,设
,
,
由余弦定理得
所以
则
所以
则以为焦点且过点点
的双曲线的焦距为
,实半轴为
,
所以其离心率为
(本小题满分分)
已知椭圆的中心在坐标原点
,两个焦点分别为
、
,一个顶点为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)对于轴上的点
,椭圆
上存在点
,使得
,求
的取值范围.
正确答案
(1)
(2)
解:(1)由题意可得,,
,
∴. ………………………………2分
∴所求的椭圆的标准方程为:. ………………………………4分
(2)设,则
. ① ………………………………5分
且,
, ………………………………6分
由可得
,即
∴. ② ………………………………7分
由①、②消去整理得
. ………………………………9分
∵,
∴. ………………………………11分
∵,
∴
. ………………………………13分
∴的取值范围为
. ………………………………14分
正确答案
本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。联立方程组,结合韦达定理以及椭圆的几何性质先求解出a,b的值然后利用弦长公式解得AB的长度。
(本小题满分14分)
椭圆过点P
,且离心率为
,F为椭圆的右焦点,
、
两点在椭圆
上,且
,定点
(-4,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当时 ,问:MN与AF是否垂直;并证明你的结论.
(Ⅲ)当、
两点在
上运动,且
=6
时
, 求直线MN的方程.
正确答案
解:(Ⅰ)椭圆的离心率为
即可得
--2分
又椭圆过点P
解得,
,椭圆C的方程为
-----
-----------4分
(Ⅱ)设,
则,
当时,
, -----------5分
由M,N两点在椭圆上,
---------6分
若,则
(舍去),
------------7分
. ------------8分
(Ⅲ)因为=6
.--9分
由已知点F(2,0), 所以|AF|="6, " 即得|yM-yN|=
------------10分
当MN轴时,
故直线的斜率存在. ------------11分
不妨设直线MN的方程为:-----
联立、
得
------------12分
|
|=
解得
------------14分
此时,直线MN的方程为或
------------15分
略
椭圆的左右焦点分别为
,P为椭圆上一点,且
,则椭圆的离心率e=__________。
正确答案
略
如图,已知椭圆上两定点
,直线
与椭圆相交于A,B两点(异于P,Q两点)
(1)求证:为定值;
(2)当时,求A、P、B、Q四点围成的四边形面积的最大值。
正确答案
解: (1)设,联立直线与椭圆的方程
用代入可得
=
(2)
当时
为其面积的最大值。
略
已知椭圆的离心率为
,过右焦点
且斜
率为
的直线与
相交于
两点.若
,则
▲
正确答案
略
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