椭圆_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

椭圆C：左右焦，若椭圆C上恰有4个不同的点P，使得为等腰三角形，则C的离心率的取值范围是 _______

正确答案

（，）∪（，1）

试题分析：分两种情况：第一种情况，当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；第二种情况，当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上，因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a-c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e，当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠，同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，又因为椭圆C上恰有4个不同的点P，使得为等腰三角形，故第一种情况不成立，综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1,F2为焦点的椭圆C过点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设点，过点F2作直线与椭圆C交于A,B两点，且，若的取值范围.

正确答案

（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，以，为焦点的椭圆C过点，故可用待定系数法求椭圆方程，设椭圆的标准方程为，由条件求出即可；（Ⅱ）设点，过点F2作直线与椭圆C交于A,B两点，且，若的取值范围，这是直线与圆锥曲线交点问题，可采用设而不求的解题思想，设出直线的方程（注意需讨论斜率不存在情况），与Ａ，Ｂ两点坐标，利用根与系数关系来解，当直线斜率不存在时，直接求解A，B的坐标得到的值，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后，利用，消掉点的坐标得到λ与k的关系，根据λ的范围求k的范围，然后把转化为含有k的函数式，最后利用基本不等式求出的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

则 ③

④

将④代入③，解得或（舍去）

所以

故椭圆的标准方程为 4分

（Ⅱ）方法一：

容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为

将直线的方程代入中得：. 6分

设，则由根与系数的关系，

可得： ⑤

⑥ 7分

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以 10分

因为，所以，

又，所以，

故

，

令，因为

所以，即，

所以.

而，所以.

所以. 13分

方法二：

1）当直线的斜率不存在时，即时，，，

又，所以 6分

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为

由得

设，显然，则由根与系数的关系，

可得：， 7分

⑤

⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得 10分

因为，

所以，

又，

故

11分

令，因为

所以，即，

所以.

所以 12分

综上所述：. 13分

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题型：简答题

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简答题

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M ．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线的方程以及点M的坐标；

（3）是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

，，

解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得

解得，故椭圆C的方程为．……………………4分

（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为

由得．①

因为直线与椭圆相切，所以

整理，得解得

所以直线l方程为

将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分

（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为

所以

所以．

又，

因为即，

所以．

即

所以，解得因为A，B为不同的两点，所以．

于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………12分

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题型：简答题

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简答题

已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足PA+PB=3，则动点P的轨迹是______．

正确答案

由PA+PB=3＞AB结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以A（-1，0），B（1，0）为焦点的椭圆．

答案：以A（-1，0），B（1，0）为焦点的椭圆．

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题型：填空题

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填空题

已知是椭圆上的点，则的取值范围是．

正确答案

试题分析：由于，令x+y=t,则y=t-x，所以，，得，故．

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题型：简答题

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简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1·k2的取值范围．

正确答案

（1）＝1（2）

(1)由已知，得解得∴∴椭圆C的标准方程为＝1.

(2)设点P(x1，y1)(－21<3)，点M.∵点F、P、M三点共线，x1≠－2，

∴，y2＝，∴点M.

∵k1＝，k2＝，∴k1·k2＝.

∵点P在椭圆C上，∴＝1，∴＝－(－9)．

∴k1·k2＝.

∵－21<3，∴k1·k2<－.∴k1·k2的取值范围是

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E:+=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+,证明·为定值,并求出该值.

正确答案

（1）+=1 （2），证明见解析

解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),

又椭圆以抛物线焦点为顶点,

∴a=2,

又e==,

∴c=1,∴b2=3.

∴椭圆E的方程为+=1.

(2)由(1)知,F(-1,0),

由

消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l与椭圆交于两点,

∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

即m2<4k2+3.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1、x2是上述方程的两个根,

∴x1+x2=-,x1·x2=,

又y1+y2=kx1+m+kx2+m

=k(x1+x2)+2m

=

∴=+=（-,）,

由点P在椭圆上,得+=1.

整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),

∴=(-3,-4k+m).

∴·=（-,）·(-3,m-4k)

=+

=

=.

即·为定值.

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题型：填空题

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填空题

根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是。

正确答案

平方米

如图，

设机器人行走2分钟时的位置为P。设机器人改变方向的点为A，，。则由已知条件有，以及

.所以有即所求平面图形为弓形，其面积为平方米。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是.直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;

(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.

正确答案

（1）+y2=1 （2）（0,±）（3）2

解:(1)因为=,且c=,

所以a=,b==1.

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由题意知P(0,t)(-1

由

得x=±.

所以圆P的半径为.

当圆P与x轴相切时,|t|=.

解得t=±.

所以圆心P的坐标是（0,±）.

(3)由(2)知,圆P的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2).

因为点Q(x,y)在圆P上,

所以y=t±≤t+.

设t="cos" θ,θ∈(0,π),

则t+="cos" θ+sin θ=2sin（θ+）.

当θ=,即t=,且x=0时,y取最大值2.

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题型：简答题

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简答题

已知点、，若动点满足．

（1）求动点的轨迹曲线的方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线：的距离最小．

正确答案

（1）；（2）

试题分析：（1）属直接法求轨迹问题：根据已知列出方程，化简即可。（2）设直线平行的直线的方程为：，当直线与曲线相切即有一个公共点时切点即为所求点。将直线与曲线方程联立消掉（或）整理为关于的一元二次函数，直线与曲线相切其判别式应为为零。解得之后代入上式即可求点的坐标。

试题解析：解：（1）设点坐标为，

则，，，.

因为，所以，化简得.

所以动点的轨迹为 6分

(2) 设与椭圆相切并且直线平行的直线的方程为：

由得

故当时，直线与已知直线的距离最小，

并且 12分

将代入中得

代入中得

即点坐标为. 14分

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