热门试卷

（I）设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0).

由条件知c=2，且=λ，所以a2=λ，b2=a2-c2=λ-4．

故椭圆的方程是+=1(λ＞4).

（II）依题意，直线l的斜率存在且不为0，记为k，则直线l的方程是y=k（x-1）．

设点F（2，0）关于直线l的对称点为F'（x0，y0），

则

解得

因为点F'（x0，y0）在椭圆上，所以+=1.

即λ（λ-4）k4+2λ（λ-6）k2+（λ-4）2=0．

设k2=t，则λ（λ-4）t2+2λ（λ-6）t+（λ-4）2=0．

因为λ＞4，所以＞0.

当且仅当(*)

上述方程存在正实根，即直线l存在．

解（*）得所以4＜λ≤.

即λ的取值范围是4＜λ≤.

（Ⅰ） 依题意，设椭圆方程为+=1 ( a＞b＞0 )，

则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=，

由|FB|=2，得=2，

即(c-)2+2=4，故c=2．

又∵b=2，∴a2=b2+c2=22+(2)2=12，

∴所求椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），

由|| = ||，知点A在线段MN的垂直平分线上，

由得x2+3（kx-3）2=12

即（1+3k2）x2-18kx+15=0①

△=（-18k）2-4（1+3k2）×15=144k2-60＞0

即k2＞时方程①有两个不相等的实数根

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0）

则x1，x2是方程①的两个不等的实根，故有x1+x2=

从而有x0==，y0=kx0-3==

于是，可得线段MN的中点P的坐标为P(，)

又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1==

由AP⊥MN，得×k=-1

即5+6k2=9，解得k2=＞，∴k=±，

∴所求直线l的方程为：y=±x-3．

（1）∵=（x+1，y），=（y，x-1），（x，y∈R）满足||+||=2，

∴+=2，

∴动点P（x，y）的轨迹C的方程是以（±1，0）为焦点，以长轴长为2，短轴长为2的椭圆，

∴动点P（x，y）的轨迹C的方程为+y2=1．

（2）∵点A（1，0）和B（-1，0）为C的两个焦点，连接BM，BN，

由椭圆的对称性可知四边形AMBN是平行四边形，

∴∠AMB=π-∠MAN=，

设MA=r1，MB=r2，

由椭圆定义知r1+r2=2，即r12+r22+2r1r2=8，

在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos=4，

两式作差，得r1r2=，

∴S△MAN=r1r2sin=．

（3）设动点D（2，y0），

则以OD为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-y0）=0，①

直线GA：2x+y0y-2=0，②

由①②联立消去y0得G的轨迹方程是x2+y2=2，

∴OG=（定值）

设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，由题意可得，解得a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3．

因此椭圆的方程为+=1．

（I）有题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，

∵点(1，)在椭圆上，∴+=1 解得：b2=3

椭圆的方程为：+=1；

（II）由直线l与圆O相切，得：=1，即：m2=1+k2

设A（x1，y1）B（x2，y2）    由  消去y，

整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2+km(-)+m2=∴x1x2+y1y2=+=

∵m2=1+k2∴x1x2+y1y2==-，

解得：k2=，

∴k的值为：±．

（I）设椭圆T的方程为mx2+ny2=1，将P、Q的坐标代入得，∴

∴椭圆T的标准方程为+y2=1；

（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|=

∵•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴|MN|==

∵(x1x2)2=(y1y2)2=1-（x12+x22）+

∴=1-（x12+x22）≤()2

∴x12+x22≥3

∴|MN|≤2，∴|MN|的最大值为2．

（1）椭圆+=1焦点坐标为（0，3），在y轴上

∴所求双曲线的焦点坐标为（0，3），c=3

故设双曲线方程为-=1

∵点(1，)在双曲线上

∴-=1解得a2=5，

∴所求双曲线方程为-=1

（2）与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ

而点(2，1)在双曲线上则-=λ解得λ=

∴所求双曲线方程为-y2=1

设椭圆离心率为e，设F2的坐标为（c，0），其中c2=a2-b2，

设l的方程为y=kx+m，则l与y轴的交点为（0，m），m=-kc，

所以B点的坐标为（，-），将B点坐标代入椭圆方程得+•k2=4，即e2+=4，

所以k2=（4-e2）•（-1）≤，即5e4-29e2+20≤0，解之可得，≤e2≤5，

又有椭圆的性质，所以≤e＜1，

因此椭圆C的离心率取值范围为[，1）．

（I）∵d==，∴b=2∵e==，∴=∵a2-b2=c2，∴a2-4=a2解得a2=12，b2=4．

椭圆的方程为+=1．（4分）

（II）（i）∵=，∴a2=3b2，c2=a2=2b2．椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2①

易知右焦点F(b，0)，据题意有AB：y=x-b②

由①，②有：4x2-6bx+3b2=0③

设A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|====b=∴b=1（8分）

（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等=λ+μ成立．

设M（x，y），∵（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，

又点M在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2④

由③有：x1+x2=，x1x2=

则x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-b)(x2-b)=4x1x2-3b(x1+x2)+6b2

3b2-9b2+6b2=0⑤

又A，B在椭圆上，故有x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2⑥

将⑥，⑤代入④可得：λ2+μ2=1．（14分）