热门试卷

（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），焦距为2c，

∵e==，且根据题意可知：点（c，）在椭圆上，

∴+=1，则+=1，解得b=1，

∵a=c，且a2-c2=b2=1，则c=1，a=，

故椭圆方程为：+y2=1；

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），

由，消去y得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，

因为⊥，所以x1x2+y1y2=+==0，（10分）

即3m2-2k2-2=0，所以m2=，（11分）

设原点O到直线l的距离为d，则d====，（12分）

当直线l的斜率不存在时，因为⊥，根据椭圆的对称性，

不妨设直线OP，OQ的方程分别为y=x，y=-x，

可得P（，），Q（，-）或P（-，-），Q（-，），

此时，原点O到直线l的距离仍为，

综上，点O到直线l的距离为定值．（14分）

（1）椭圆9x2+5y2=45化成标准方程，得+=1，

∴椭圆的焦点在y轴，且c2=9-5=4，得c=2，焦点为（0，±2）．

∵所求椭圆经过点（-，），且与已知椭圆有共同的焦点，

∴设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

可得，解之得a2=10，b2=6，

∴所求的椭圆方程为+=1；

（2）设椭圆方程为Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B）．

∵点P（3，0）在该椭圆上，∴9A=1，即A=，

又a=3b，∴B=1或，

∴椭圆的方程为+y2=1或+=1．

（1）∵在平面直角坐标系中的一个椭圆，

它的中心在原点，左焦点为F（-，0），且过D（2，0），

∴椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．

∵椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为+y2=1．

（2）椭圆+y2=1的参数方程是：，α为参数．

∴P（2cosα，sinα），

设线段PA的中点为M（x，y），

∵A（1，），P（2cosα，sinα），

∴x=，y=，

∴cosα=2x-1，

sinα=2y-，

∴（2x-1）2+（2y-）2=1．

∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）2+（2y-）2=1．

（1）设所求的椭圆方程为 +=1（a＞b＞0），

由离心率e==

则 解得a=2，b=1，c=

故所求椭圆的方程为 +y2=1，

（2）由（1）知F1（-，0），设P（x，y），

则 •=（--x，-y）•（ -x，-y）=x2+y2-3=（3x2-8）

∵x∈[-2，2]，∴0≤x2≤4，

故 •∈[-2，1]

故最大值1，最小值-2．

证明：（Ⅰ）将y=x+1代入+=1，消去x，得（a2+b2）y2-2b2y+b2（1-a2）=0①

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b4-4b2（a2+b2）（1-a2）=4a2b2（a2+b2-1）＞0

所以a2+b2＞1．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由①，得y1+y2=，y1y2=

因为=2，得y1=-2y2

所以，y1+y2==-y2，y1y2==-2

消去y2，得=-2()2

化简，得（a2+b2）（a2-1）=8b2

若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2-1，

代入上式，解得a2=，b2=，

所以，椭圆的方程为：+=1．

（I）∵椭圆的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为

∴=，=

∴a2=4，b2=3

∴椭圆C的方程为+=1；

（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，

所以|OP|=

当k≠0时，则由，消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0③

设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），

则x0=x1+x2=-，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．

由于点P在椭圆C上，所以+=1．

从而+=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．

又|OP|===

因为0＜|k|≤，得3＜4k2+3≤4，有≤＜1，

故＜|OP|≤．

综上，所求|OP|的取值范围是[，]．

（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），

则点（x，2y）在圆x2+y2=8上．

所以有x2+（2y）2=8．

整理得曲线C的方程为+=1．

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，

又KOM=，

∴直线l的方程为y=x+m．

由，

得x2+2mx+2m2-4=0

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，

解得-2＜m＜2且m≠0．

∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．