热门试卷

解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

焦距为2c，由题设条件知，

所以

故椭圆C的方程式为。 

（2）椭圆C的左准线方程为，

所以点P的坐标，

显然直线l的斜率k存在，

所以直线l的方程为，

如图，设点M，N的坐标分别为，

线段MN的中点G

由得①

由

解得， ②

因为是方程①的两根，

所以

于是=

因为≤0

所以点G不可能在y轴的右边

直线，方程分别为

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

即，

亦即

解得，此时②也成立；

故直线l斜率的取值范围是[，）。 

解：(Ⅰ)由离心率e=，得，

即，①

又点B（-1，-3）在椭圆C：上，即，②

解①②得，

故所求椭圆方程为，

由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2。

(Ⅱ)曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0，

即圆(x-m)2+(y+2)2=8，其圆心坐标为G（m，-2)，半径r=2，表示圆心在直线y=-2上，半径为2的动圆，

要求实数m的最小值，由下图可知，只须考虑m＜0的情形．

设圆G与直线l相切于点T，则由，得m=±4，

当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l′的方程为x+y+6=0，

解方程组，得T（-2，-4），

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，

所以切点TD，

由图可知当圆G过点B时，m取得最小值，

即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=--1。

设椭圆方程为+=1(a＞b＞c)

（Ⅰ）由已知得⇒

∴所求椭圆方程为+y2=1．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

由，消去y得关于x的方程：

（1+2k2）x2+8kx+6=0

由直线l与椭圆相交于A、B两点，

∴△＞0⇒64k2-24（1+2k2）＞0

解得k2＞

又由韦达定理得

∴|AB|=|x1-x2|==

原点O到直线l的距离d=

∵S△AOB=|AB|•d==．

对S=两边平方整理得：4S2k4+4（S2-4）k2+S2+24=0（*）

∵S≠0，

整理得：S2≤

又S＞0，∴0＜S≤

从而S△AOB的最大值为S=，

此时代入方程（*）得4k4-28k2+49=0∴k=±

所以，所求直线方程为：±x-2y+4=0．

解：（1 ）设切点A，

依题意则有解得，

即A点的纵坐标为2；

（2）①依题意可设椭圆的方程为，

直线AB方程为：；

由得，（*）

由（1）可得A，

将A代入（*）可得，

故椭圆的方程可简化为；

联立直线AB与椭圆的方程：，

消去y得：，

则

，

又∵，

∴k∈［-2，-1］；

即；

②由可知上为单调递增函数，

故当k=-1时，取到最大值，此时p＝4，

故椭圆的方程为。

解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

焦距为2c，由题设条件知，

所以

故椭圆C的方程式为。 

（2）椭圆C的左准线方程为，

所以点P的坐标，

显然直线l的斜率k存在，

所以直线l的方程为，

如图，设点M，N的坐标分别为，

线段MN的中点G

由得①

由

解得， ②

因为是方程①的两根，

所以

于是=

因为≤0

所以点G不可能在y轴的右边

直线，方程分别为

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

，

即，

亦即

解得，此时②也成立；

故直线l斜率的取值范围是[，）。 

解：（Ⅰ）设椭圆（a＞b＞0）上两点A（x1，y1），B（x2，y2），

线段AB的中点为M（x，y），则，

且，

于是

由kOA·kOB=，即

由①②得，

则点M的轨迹方程为；

（Ⅱ）由已知

（1）当AB⊥x轴，即x1=x2时，由③④得y1=-y2，再由⑤得，

∴，

此时，即，

直线AB的方程为；

（2）当AB不垂直于x轴，即x1≠x2时，由③④得，，

即

由⑥得直线AB的斜率，

∴直线AB的方程为

由⑦变形得，

并结合①⑤得

而x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， ⑨

由⑧⑨得，

又情形（1）也符合，

故所求直线AB的方程为。

解：（1）设E（x，y），则P（x，2y），

而P点在圆上，

所以；

（2），

而，

故当时，△OAB面积的最大值为1，

此时，直线l的方程为：。

（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，

，MN的中点，

于是，

，

，………………………………………①

而，

故，

，

而，

故，

可得：，…………………………………②

由①②得：，

故。

解：（Ⅰ）由已知得：，

即椭圆方程为；

（Ⅱ）由，

∴C（0，2），

设，

因为不合题意，故可设l：y=kx+2，

代入，

，

又，

∴，

从而，

联立（1）（2）（3），解得k=±3，

均满足（*）式的△＞0，

即l：y=±3x+2。　

解：（1）①当直线垂直于x轴时，则此时直线的方程为x=1，

与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意；

②若直线不垂直于x轴，设其方程为，即，

设圆心到此直线的距离为d，

则，解得：d=1，

∴，，

故所求直线方程为；

综上所述，所求直线为或x=1。

（2）设点M的坐标为，Q点坐标为，则N点坐标是，

∵，

∴，

即，，

又∵，

∴，

由已知，直线m∥Ox轴，所以，

∴Q点的轨迹方程是。