热门试卷

（本小题满分13分）

（1）依题意可设椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0)…（1分）

则，解得…（3分）

∴b2=a2-c2=8-4=4…（5分）

∴椭圆C的方程为+=1…（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）…（7分）

联立方程，消去y，并整理得：3x2-4x-6=0…（9分）

∴…（10分）

…（12分）

∴|AB|=…（13分）

解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为，

则，①

∵抛物线的焦点为F1，

∴，  ②

又a2=b2+c2， ③

由①、②、③得a2=12，b2=6，

所以椭圆E的方程为。

（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，

代入椭圆E方程，得3x2-4mx+2m2-12=0，

由△=16m2-12（2m2-12）=8（18-m2），得m2＜18，

记A（x1，y1）、B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

圆P的圆心为，

半径，

当圆P与y轴相切时，，

即，m2=9＜18，m=±3，

当m=3时，直线l方程为y=-x+3，

此时，x1+x2=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=4；

同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，

圆P的方程为（x+2）2+（y+1）2=4。

解：（1），

∴，

∴……①

曲线过……②

由①②解得，

则椭圆方程为；

（2）联立方程，消去y整理得：，

则，

解得，……③

，

即AB的中点为，

又∵AB的中点不在内，

∴，

解得，……④

由③④得：。

解：（1）设椭圆的左右焦点为，

∴，

∴，

∴，c=4，

∴b2=20，

∴；

（2）A（-6，0），F2（4，0），

∴圆M：，

又（-1，0）到的距离为5，

∴是圆M上的点，

∴过圆M的切线方程为，

设切线与x轴的交点为C，所求的面积为S，

则S=。

（1）由题意可知，可行域是以A1(-，0)，A2(，0)及点M(0，)为顶点的三角形（1分）

因为kA1M•kA2M=-1，所以A1M⊥A2M

∴△A1A2M为直角三角形

∴外接圆C1是以原点O为圆心，线段|A1A2|=2为直径的圆

故其方程为x2+y2=2（3分）

设椭圆的方程为+=1∵2a=2∴a=

又e=∴c=1，可得b=1

故椭圆C2的方程为+y2=1（5分）

（2）直线PQ始终与圆C1相切（6分）

设P(x0，y0)(x0≠±)，则y02=2-x02

当x0=1时，P（1，1）或P（1，-1），此时Q（2，0）

若P(1，1)时，kOP=1，kPQ==-1kOP•kPQ=-1∴OP⊥PQ

若P(1，-1)时，kOP=-1，kPQ==1kOP•kPQ=-1∴OP⊥PQ

即当x0=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C1相切（8分）

当x0≠1时，kPF=∴，kOQ=-

所以直线OQ的方程为，y=-x，因此点Q的坐标为（2，，-)（9分）

∵kPQ====-（10分）

∴当x0=0时，kPQ=0，OP⊥PQ

∴当x0≠0时，kOP=，

∴kOP•kPQ=-1OP⊥PQ

综上，当x0≠±时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C1相切（12分）

解：（1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形

因为

∴△A1A2M为直角三角形

∴外接圆C1是以原点O为圆心，线段|A1A2|=为直径的圆故其方程为x2+y2=2

设椭圆的方程为

∵

∴∴c=1，可得b=1

故椭圆C2的方程为

（2）直线PQ始终与圆C1相切。设

当x0=1时，P（1，1）或P（1，﹣1），此时Q（2，0）

若

kOPkPQ=﹣1

∴OP⊥PQ

若

kOPkPQ=﹣1

∴OP⊥PQ  

即  当x0=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C1相切

当

所以直线OQ的方程为，因此点Q的坐标为（2，

∵

∴当x0=0时，kPQ=0，OP⊥PQ

∴当，

∴kOPkPQ=﹣1  ，  OP⊥PQ

综上，当时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C1相切

解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，

且经过点P（1，），

∴，

∴椭圆C的方程为。

（2）易求得F（1，0），

设M（x0，y0），则，

圆M的方程为，

令x=0，化简得……①

将代入①，得。

（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2，

由（2），得，

当时，DE的最大值为。

（Ⅰ）∵椭圆C过点（0，1），∴+=1，可得b=1，

又∵椭圆C的离心率e=，即=，且a2-c2=b2=1    …（2分）

解之得a2=3，c2=2

∴所求椭圆C的方程为：+y2=1                     …（4分）

由此可得“知己圆”的半径r==

∴椭圆C的“知己圆”的方程为：x2+y2=2        …（6分）

（Ⅱ）设过点（0，m）、且斜率为1的直线方程为y=x+m，即为x-y+m=0

∵直线截其“知己圆”的弦长l=2，

∴圆心到直线的距离为d===1       …（8分）

由点到直线的距离公式，得d==1，解之得m=±       …（10分）

（Ⅲ）∵椭圆C的“知己圆”是以原点为圆心，r=的圆

∴椭圆C的“知己圆”方程为x2+y2=c2

因此，①当c＜b时，即椭圆C的离心率e∈（0，）时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C没有公共点，由此可得“知己圆”在椭圆C内；…（12分）

当c=b时，即椭圆的离心率e=时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C有两个

公共点，由此可得“知己圆”与椭圆C相切于点（0，1）和（0，-1）；

当c＞b时，即椭圆C的离心率e∈（0，）时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C有四个公共点，由此可得“知己圆”与椭圆C是相交的位置关系． …（14分）

解：（1）设，圆M的半径为r，依题意得

将代入椭圆方程为

所以

又

从而得

两边除以a2得：

解得：

因为

所以。

（2）因为是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，

圆M到y轴的距离

又由（1）知：，

所以，

又因为

解得，

所求椭圆方程是：。