热门试卷

解：由条件△ABC的三边a＞b＞c成等差数列，

A、C两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），

得a+c=2b，即BC+BA=4＞2，

所以B满足椭圆的定义，

所以长轴长为4，焦距为2，短轴长为，

所以顶点B的轨迹方程为，

又因为a＞b＞0，

所以BC＞AB，所以x＜0．

又因为B、A、C不能在一直线上，

所以x≠﹣2

所以顶点B的轨迹方程为（﹣2＜x＜0），．

解：设动圆圆为M（x，y），半径为r

那么

∴|MC|+|MA|=10＞|AC|=8

因此点M的轨迹是以A、C为焦点，长轴长为10的椭圆．

其中a=5，c=4，b=3

其方程是：．

（1）由于点(，)在椭圆上，+=1

2a=4，

椭圆C的方程为+=1

焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）

（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）

把K的坐标代入椭圆+=1中得+=1

线段KF1的中点B的轨迹方程为(x+)2+=1

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

设M（x0，y0）N（-x0，-y0），p（x，y）

M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，

得+=1，+=1

kPM=，KPN=

kPM•KPN=•==-

kPM•KPN的值与点P及直线L无关

解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，

所以，

整理得（λ≠0，x≠±1）。

（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；

②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；

③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(-1，0)，(1，0)；

④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）。

（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C为椭圆（x≠±1） ，

由题意知，l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1，

代入椭圆方程中整理，得， （*）

设，，则x1，x2的方程（*）的两个实根，

∴，，

∴

，

当k=0时，取“=”，

∴k=0时，△OAB的面积取最大值为。

由=2及A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(x，0)，B（0，3y），=(-x，3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q（-x，y），=（-x，y），则•=(-x，3y)•(-x，y)=x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．

所以P点的轨迹方程为：x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．

（1）依题意得，将双曲线方程标准化为-=1，则c=1．

∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为+=1，∵椭圆过（，0），

∴+=1，即a2=2，∴椭圆方程为+y2=1．

（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则

y=2x+b 且 +y2=1得，9x2+8xb+2b2-2=0，∴x1+x2=-，y1+y2=．

即x=-，y=两式消掉b得 y=-x．

令△=0，64b2-36（2b2-2）=0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3

即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．

所以平行弦得中点轨迹方程为：y=-x（-≤x≤）．

（1）由已知得，解得

∴b2=a2-c2=1…（3分）

∴椭圆方程为+y2=1．…（5分）

（2）依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），且有+y02=1

又CA：y=(x+3)，DB：y=(x-3)，

∴y2=(x2-9)，

将+y02=1代入即得y2=(x2-9)，-y2=1

所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线-y2=1上．…（10分）

（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），…（11分）

设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组

消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，

所以x3+x4=，①x3x4=，②…（13分）

因为=λ，所以（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）]，

即，所以x3=λ（1-x3），

又l与x轴不垂直，所以x3≠1，

所以λ=，同理μ=．        …（14分）

所以λ+μ=+=．

将①②代入上式可得λ+μ=-．      …（16分）

解：（Ⅰ）依题意N（k，-l），

且∵klmn≠0及MP、NP与轴有交点知：M、P、N为不同点，

直线PM的方程为，

则，

同理可得；

（Ⅱ）∵M，P在椭圆C：上，

∴，

∴xE·xF的值是与点M、N、P位置无关；

（Ⅲ）一个探究结论是：；

提示：依题意，，

∵M，P在抛物线C：y2=2px（p>0）上，

∴n2=2pm，l2=2pk，，

∴为定值。

解：（1）∵，

∴，

于是，

所求“果圆”方程为。

（2）设P（x，y），则

，

，

∴的最小值只能在x=0或x=-c处取到，

即当|PM|取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；

（3），且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，

所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆上的情形即可，

，

当，即a≤2c时，的最小值在时取到，

此时P的横坐标是；

当，即a＞2c时，由于在x＜a时是递减的，的最小值在x=a时取到，

此时P的横坐标是a；

综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是；

若a＞2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或-c。