热门试卷

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，

长轴长2a=6的椭圆，

因此半焦距c=2，长半轴a=3，

从而短半轴b=，

所以椭圆的方程为；

(Ⅱ)由，

得，①

因为cos∠MPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，

故P、M、N构成三角形，

在△PMN中，|MN|=4，

由余弦定理有

，②

将①代入②，

得，

故点P在以M、N为焦点，

实轴长为的双曲线上，

由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，

所以由方程组，

即P点坐标为

或。

解：(1)据题意，设椭圆C的方程为，，

∵直线x=4为椭圆C的准线，

∴，

又，

∴M为椭圆C短轴上的顶点，

∵，

∴，

∴∠F1MF2=60°，则△F1MF2为等边三角形，

∴， 故a2=4c=2a，

∴a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=22-12=3，

∴椭圆C的方程为。

(2)显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，

即直线PQ斜率不存在时，，

∴；

当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，则直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0)，

代入椭圆C的方程，消去x并整理得：(4k2+3)y2+6ky-9k2=0，

Δ=36k2+36k2(4k2+3)＞0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，

∴，

设4k2+3=t，则t＞3，此时，

又∵F1到直线PQ的距离，

∴，

，

∴0＜＜3，

综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF1Q的面积最大，且最大面积为3，

设△PF1Q的内切圆半径为r，

则=4r，

∴，即时，△PF1Q的内切圆面积最大，

此时直线PQ的斜率不存在，直线PQ与x轴垂直，

∴，即λ=1。

解：（1），∴b=2，

∵，∴，

，

∴，

解得，

∴椭圆的方程为。

（2）①，∴，

椭圆的方程可化为：，①

易知右焦点为，据题意有直线AB的方程为：，②

由①，②有：，③

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，

∴b=1．

②显然与可作为平面向量的一组基底，

由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得成立．

设M(x，y)，，

∴，

又点M在椭圆上，∴，④

由③有：，

则

，⑤

又A，B在椭圆上，故有，⑥

将⑤，⑥代入④可得：。

解：（1）

椭圆的方程为。

（2）①当直线AB斜率不存在时，即

由得

又在椭圆上

所以

所以三角形的面积为定值。

②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

得到，

代入整理得

所以三角形的面积为定值。

解：（Ⅰ）由题意知，从而a=2b，

又，解得a=2，b=1，

故C1，C2的方程分别为。

（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是，

又点M的坐标为（0，-1），

所以，

故MA⊥MB，即MD⊥ME。

（ⅱ）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，

由解得或，则点A的坐标为，

又直线MB的斜率为，

同理可得点B的坐标为，

于是，

由得，

解得或，

则点D的坐标为；

又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标，

于是，

因此，

由题意知，解得或，

又由点A，B的坐标可知，，所以，

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为和。

解：（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y），

则有，

化简得；

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x1，y1），F（x2，y2），

，

，

，

因为l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°得

，x1x2+y1y2=0，

x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，

（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，，

解得（满足）。

（Ⅲ）解方程组得

，

即，

S四边形AEBF=2S△BOE+2S△FOM=|BO|·x1+|AO|·y1

，

因为，

所以（当且仅当时取等号），

即S四边形AEBF的最大面积为（当时取得）。

解：（Ⅰ）由题意，=2c=2，∴A（a2，0），

∵，

∴F2为AF1的中点，

∴a2=3，b2=2，

即椭圆方程为；

（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，，此时，

四边形DMEN的面积不符合题意，故舍掉；

同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积不符合题意，故舍掉；

当直线DE，MN均与x轴不垂直时，

设DE：y=k（x+1），

代入消去y得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0，

设 D（x1，y1），E（x2，y2），

则，

所以，

所以，

同理，

所以四边形的面积

，

由或，

所以直线lDE：或lDE：或lDE：

或lDE：。

解：（1）由题意得

∴

所以椭圆的方程为；

（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大。

因为直线PA的斜率一定存在，

所以可设直线PA的方程为：

又因为PA与圆O相切，

所以圆心（0，0）到直线PA的距离为

即

可得或

所以直线PA的方程为：

或；

（3）设

则

则

所以

∴。

解：（1）圆M的圆心为，半径

由题意知

得直线的方程为

即

由直线AF与圆M相切得

∴

故椭圆C的方程为；

（2）由知

从而直线AP与坐标轴不垂直

 故可设直线的方程为，直线的方程为

将代入椭圆C的方程，整理得

解得或

故点P的坐标为

同理，点Q的坐标为

直线l的斜率为

直线l的方程为

即

∴直线l过定点。