椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

已知动点P与双曲线2x2﹣2y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为4．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若M为曲线C上的动点，以M为圆心，MF2为半径做圆M．若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围．

正确答案

解：（1）双曲线2x2﹣2y2=1的两个焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），

∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，

∴P点的轨迹是椭圆，其中a=2，c=1，则，

∴C的方程为

（2）设M（x0，y0），d=|x0|，

∵圆M与y轴有两个交点，

∴d＜r，即，

∴，

又，即，

∴，

∴（3x0﹣4）（x0+4）＜0

∴，

又﹣2≤x0≤2，

∴

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题型：简答题

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简答题

在周长为定值的△ABC中，已知，动点C的运动轨迹为曲线G，且当动点C运动时，cosC有最小值。

（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程；

（2）过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交曲线G于M，N两点，将线段MN的长|MN|表示为m的函数，并求|MN|的最大值。

正确答案

解：（1）设（）为定值，

所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距，

因为

又，

所以，由题意得，

所以C点轨迹G的方程为；

（2）由题意知，|m|≥1；

当m=1时，切线l的方程为x=1，点M，N的坐标分别为，

此时|MN|=；

当m=-1时，同理可知|MN|=，

当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），

由得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0，

设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

又由l与圆x2+y2=1相切，得=1，即m2k2=k2+1，

所以

=

由于当m=±1时，|MN|=，所以|MN|=，m∈（-∞，-1 ]∪[1，+∞），

因为|MN|=≤2，且当m=±时，|MN|=2，

所以|MN|的最大值为2。

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题型：简答题

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简答题

已知直线L：x=my+1（m≠0）过椭圆C：的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点。（1）若抛物线x2=4y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ1+λ2的值。

正确答案

解：（1）根据题意，直线l：x=my+1过椭圆C：（a>b>0）的右焦点F，

∴F（1，0），

∴c=1

又∵抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，

∴，

∴b2=3，

∴a2=b2+c2=4，

∴椭圆C的方程为；

（2）∵L与y轴交于

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由

∴（3m2+4）y2+6my-9=0，△=144（m2+1）>0，

∴

又由，

∴

同理

∴

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围。

正确答案

解：（1）由题意知，

所以，即a2=2b2又因为，

所以a2=2，b2=1

故椭圆C的方程为。

（2）由题意知直线AB的斜率存在

设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）

由得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0

∵

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

∵点P在椭圆上，

∴

∴16k2=t2（1+2k2）

∵

∴

∴（4k2-1）（14k2+13）>0，

∴，

∴

∵16k2=t2（1+2k2），

∴

∴或

∴实数t取值范围为（-2，-）∪（，2）。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍且经过点（2，）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过圆O：x2+y2=上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点，求证：为定值。

正确答案

解：（1）设椭圆C的方程为

∵长轴长是短轴长的倍，

∴椭圆方程为

∵在椭圆C上

∴

∴椭圆C的方程为

。

（2）当切线l的斜率不存在时切线方程为

与椭圆的两个交点为

此时

当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m

解方程组

得

即

则

即

∴

∵l与圆相切

∴

综上所述为定值。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜时，求实数t的取值范围。

正确答案

解：（1）由题意知

所以

即

又因为

所以，

故椭圆的方程为；

（2）由题意知直线的斜率存在

设AB：，，，

由得

，

∵

∴

∵点P在椭圆上

∴

∵＜

∴

∵

∴

∴或

∴实数t取值范围为。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2．

（ 1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由已知得，解得

所以

所以所求椭圆的方程为

（ 2）由（1）得F1（﹣1，0）、F2（1，0）

①若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=﹣1，

由

得设、

，

所以，

这与已知相矛盾．

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y=k（x+1），

设M（x1，y1）、N（x2，y2），

联立，

消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0

，

．

又因为

所以

化简得40k4﹣23k2﹣17=0

解得k2=1或k2=（舍去）

所以k=+1

所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a>b>0）的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），动直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M，N，当时，M是椭圆C的上顶点，且△MF1F2的周长为6。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

正确答案

解：（1）当时，直线的倾斜角为120°，

所以

解得a=2，c=1

所以椭圆方程是。

（2）当m=0时，直线l的方程为x=1．此时，M，N点的坐标分别是，

又A点坐标是（-2，0），由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），

以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，

猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，

证明如下：

设点M，N点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

则直线AM的方程是

所以点P的坐标是

同理，点Q的坐标是

由方程组得3（my+1）2+4y2=12（3m2+4）y2+6my-9=0

所以

从而

所以，以PQ为直径的圆一定过右焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为2，并且椭圆C上的点与焦点最短的距离是1。

（1）求椭圆C的离心率及标准方程；

（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，则k与m之间应该满足怎样的关系？

（3）在（2）的条件下，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l必过定点，并求出定点的坐标。

正确答案

解：（1）∵2c=2，a-c=1，

∴c=1，a=2，

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆C的方程为。

（2）由方程组得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

由题意：Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）>0，

整理得3+4k2-m2>0 ①；

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），

∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，

即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0，

即

整理得7m2+16mk+4k2=0，

解得m=-2k或，均满足①

当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去；

当时，直线l的方程为，过定点

故直线l过定点，且定点的坐标为。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆相交于两点A，B。

（1）求椭圆的方程；

（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围。

正确答案

解：（1）由已知

所以

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

所以

所以。

（2）

设与椭圆联立得

整理得

得

由点P在椭圆上得

又由

即

所以

整理得：，

所以

由得

所以

所以或。

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