椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心。

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标。

正确答案

解：（Ⅰ）由，得

故圆C的圆心为点

从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，

由题设知

故椭圆Ｅ的方程为：

（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为

则的方程分别为且

由与圆相切，得，

即

同理可得

从而是方程的两个实根，

于是 ①

且

由得

解得或

由得

它们满足①式，故点P的坐标为，或，或，或。

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题型：简答题

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简答题

椭圆C：的离心率为，且过（2，0）点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；

（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若，求m的值．

正确答案

解：（1）因为

所以，

又a2=b2+c2，所以b=1，

所以椭圆C的方程为．

（2）联立，消去y得5x2+8mx+4m2﹣4=0，

△=64m2﹣80（m2﹣1）=﹣16m2+80，

令△＞0，即﹣16m2+80＞0，解得．

（3）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

由（2）得，

又因为，所以∠AOB为直角，即x1x2+y1y2=0，

所以，

即，

解得；

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题型：简答题

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简答题

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）∵AB=4，BC=3，AD⊥AB，AD∥BC

∴AC=5

∴CA+CB=8＞AB=4

∴a=4

∵c=2，

∴b2=12

∴椭圆的标准方程为

（2）设直线l：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）

将直线l：y=kx+m与椭圆联立可得，消去y得

∴①，

设MN中点F（x0，y0），

，

∵ME|=|NE|，

∴EF⊥MN，

∴kEFk=﹣1，

∴，

∴m=﹣（4k2+3）代入①可得：16k2+12＞（4k2+3）2∴16k4+8k2﹣3＜0

∴

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左焦点，且在在上。

（1）求的方程；

（2）设直线l同时与椭圆和抛物线相切，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）由题意得：

故椭圆的方程为：；

（2）①设直线，直线与椭圆相切

直线与抛物线相切，得：不存在

②设直线

直线与椭圆相切

两根相等

直线与抛物线相切

两根相等

解得：或。

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题型：简答题

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简答题

如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1，A，上顶点为B，抛物线C1，C2分别以A，B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P。

（1）求椭圆C及抛物线C1，C2的方程；

（2）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M，N，已知点，求的最小值。

正确答案

解：（1）由题意，A（a，0），，

故抛物线C1的方程可设为y2=4ax，C2的方程为

由，得a=4，

所以椭圆C：，

抛物线C1：y2=16x，抛物线C2：。

（2）由（1）知，直线OP的斜率为

所以直线l的斜率为

设直线l方程为

由消去y，整理得

因为动直线l与椭圆C交于不同两点，

所以Δ=128b2-20（8b2-16）>0，

解得

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则

因为

所以

因为，

所以当时，取得最小值，

其最小值等于。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆方程为（a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e=，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

正确答案

解：（Ⅰ）依题意，得，

解得，

∴椭圆方程为；

（Ⅱ）①当AB⊥x轴时，；

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知，得，

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，

∴；

当k≠0时，

|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2

，

当且仅当，即时等号成立，此时|AB|=2；

当k=0时，；

综上所述|AB|max=2，

此时△AOB面积取最大值。

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题型：简答题

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简答题

已知A是圆x2+y2=4上一点，过点A作x轴的垂线段，H是垂足，动点A1满足。

（1）求点A1的轨迹C的方程；

（2）B是圆x2+y2=4上满足条件的点，其中O是坐标原点，过点B也作x轴的垂线段，交轨迹C于点B1，动点P满足，求点P的轨迹D的方程；

（3）M是轨迹D上一动点，求点M到直线AB的最大距离并求出对应的点M的坐标。

正确答案

解：（1）设A1（x，y），A（m，n）

则m2+n2=4（*）

由于，且AH⊥x轴，

所以代入（*），得x2+4y2=4，

即为所求点A1的轨迹C的方程。

（2）设P（x，y），A1（x1，y1），B1（x2，y2），则

，

从而A（x1，2y1），B（x2，2y2），

由于，

所以

进而有x1x2+4y1y2=0 ③

根据可得（x-x1，y-y1）+2（x2-x，y2-y）=（0，0），

即

由④2+4×⑤2，并结合①②③，

得

=4×4+4-4×0=20

所以动点P的轨迹D的方程为x2+4y2=20。

（3）由于线段AB是圆x2+y2=4的长度为2的定长弦，

所以直线AB始终与圆x2+y2=2相切，

令切点为T，则根据几何意义可知点M到直线AB的距离总是满足d≤|MO|+|OT|=|MO|+

因此点M到直线AB的最大距离是，并且当直线AB的方程是时，点M的坐标是，当直线AB的方程是时，点M的坐标是。

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题型：简答题

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简答题

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点，

（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；

（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹。

正确答案

解：（Ⅰ）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），

可求得重心，外心F，垂心，

当时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；

当时，设G，H所在直线的斜率为kGH，F，G所在直线的斜率为kFG，

因为，，

所以，G，F，H三点共线，

综上可得，G，F，H三点共线；

（Ⅱ）若FH∥OB，由，得，

配方得，

即，

所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），四点。

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题型：简答题

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简答题

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点。

（1）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；

（2）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹。

正确答案

解：（1）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

重心，外心F，垂心

当时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；

当时，设G，H所在直线的斜率为，F，G所在直线的斜率为

因为，，

所以，G，F，H三点共线。

综上可得，G，F，H三点共线。

（2）若FH//OB，由，得，

配方得，即

即

因此，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，

且短轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，-）四点。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线l过P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

正确答案

解：设椭圆方程为，

（Ⅰ）由已知得，

∴所求椭圆方程为；

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=kx+2，，

由，消去y得关于x的方程：，

由直线l与椭圆相交于A、B两点，

∴，解得，

又由韦达定理得，

∴

，

原点O到直线l的距离，

，

对两边平方整理得：，（*）

∵S≠0，

整理得：，

又S＞0，

∴，从而的最大值为，

此时代入方程（*）得，

∴，

所以，所求直线方程为：。

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