椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆左准线与x轴交于E（-4，0），过E点作不与y 轴垂直的直线l与椭圆交于A、B两个不同的点（A在E、B之间）。

（1）求椭圆方程；

（2）求△AOB面积的最大值。

正确答案

解：（1）设椭圆方程为

∵

∴a=2，c=1，则b2=3

所以椭圆方程为。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由于l不与y轴垂直，设直线方程为x=my-4

与椭圆方程联立

消去x得（3m2+4）y2-24my+36=0，由Δ>0得|m|>2

原点O到直线l的距离

所以△AOB面积

令

则m2=t2+4

则

当且仅当，即时取得最大值。

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题型：简答题

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简答题

如图，椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-。问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（1）由，

解得a=2，，b2=a2-c2=2

故椭圆的标准方程为

。

（2）设 P（x，y），M（x1，y1），N （x2，y2）

则由

得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），

即x=x1+2x2，y =y1+2y2因为点M，N在椭圆x2+2y2=4上，

所以

故

=20+4（x1x2+2y1y2）

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，

由题设条件知

因此x1x2+2y1y2=0，

所以x2+2y2=20

所以P点是椭圆上的点

设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，

则由椭圆的定义|PF1|+|PF2| 为定值，

又因

因此两焦点的坐标为。

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题型：简答题

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简答题

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）连接AC，依题意设椭圆的标准方程为

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

∴AC=5

∴CA+CB=5+3=2a，a=4

又2c=4，

∴c=2，从而b=，

∴椭圆的标准方程为。

（2）由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|=|NE|，当l与x轴平行时，|ME|=|NE|显然成立，此时k=0

设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）

由消去y得

（3+4k2）x2+8kmx+4m2-48=0，

∵Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-48）>0，

∴16k2+12>m2，①

令M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为F（x0，y0）

则

∵|ME|=|NE|，

∴EF⊥MN，

∴kEF×k=-1

即

化简得m=-（4k2+3），

结合①得16k2+12>（4k2+3）2，

即16k4+8k2-3＜0，

解之得（k≠0）

综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）过点（1，），且离心率为，A，B是椭圆上纵坐标不为零的两点，若=λ（λ∈R），且，其中F为椭圆的左焦点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围。

正确答案

解：（1）由已知，得

解得

故椭圆方程为。

（2）∵A、B是椭圆上纵坐标不为零的点

，且

∴A、F、B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0

又F（-1，0），则可记AB方程为

代入，并整理得

显然

设，中点为

，

直线AB的垂直平分线方程为

令x=0，得

∵，当且仅当时取等号

∴或

所以所求的取值范围是。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是e=，若点P（0，）到椭圆C上的点的最远距离为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左焦点F1作直线l交椭圆C于点A，B，且|AB|等于椭圆的短轴长，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）因为

解得a=2b

则椭圆C的方程可化为

设Q（x0，y0）是椭圆C上的一点，则有

，

所以

当且a>0即0＜a＜1时，则当时

PQ取最大值

解得

显然不符合题意，应舍去

当，即a≥1时，则当时

PQ取最大值

解得符合题意

所以椭圆C的方程为。

（2）由（1）知

当直线l垂直于x轴时，此时直线l的方程为

把它代入

解得

不妨设

则|AB|=1≠2，显然不满足题意，

当直线l不垂直于x轴时，此时可设直线l的方程为

设

由得

则

所以

解得

综上，直线l的方程为或。

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题型：简答题

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简答题

椭圆与直线x+y-1=0相交于A、B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，

(1)求椭圆E与圆x2+y2=1的交点坐标；

(2)当|AB|=时，求椭圆E的方程。

正确答案

解：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则A、B坐标是方程组的解，

消去y，得，①

当，

即时，，同理，；

，②

由，得，③

由②、③，得，于是，

故椭圆E与圆x2+y2=1的交点坐标为。

(2)由①知，同理，

则AB中点为，

在Rt△AOB中，，

∴，④

由②、④及a＞b＞0，解得，

故椭圆E的方程为。

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题型：简答题

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简答题

已知A（1，1）是椭圆（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率。

正确答案

解：（1）由椭圆定义知

所以a=2

即椭圆方程为 ①

把A（1，1）代入①式得

所以得

所以椭圆的标准方程为。

（2）由题意知，直线AC的倾斜角不为90°，故设直线AC的方程为y=k（x-1）+1

联立方程得

消去y得

∵点A（1，1）、点C在椭圆上

∴

∵直线AC、AD的倾斜角互补，

∴直线AD的方程为y=-k（x-1）+1，

同理

∴

又

∴

∴直线CD的斜率为。

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题型：简答题

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简答题

设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F与点B（，）的距离为2。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在经过点（0，-2）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足？若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）依题意，设椭圆方程为

则其右焦点坐标为

由2

得

即

故

又∵

∴

从而可得椭圆方程为。

（2）由题意可设直线l的方程为

由知点A在线段MN的垂直平分线上

由消去y得

即可得方程（*）

由得方程（*）的

即方程（*）有两个不相等的实数根

设，，线段MN的中点

则是方程（*）的两个不等的实根

故有

从而

于是，可得线段MN的中点P的坐标为

又由于

因此直线AP的斜率为

由得

即

解得

即

又

故或

综上可知存在直线l满足题意，其倾斜角或。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，离心率e=，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点M(1，0)，且，求直线l的方程。

正确答案

解：(1)设椭圆的右焦点为(c，0)，

因为y2=8x的焦点坐标为(2，0)，所以c=2，

因为，所以，

故椭圆方程为：。

(2)由(1)得F(2，0)，设l的方程为y=k(x-2)(k≠0)，

代入得，

设，则，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，∴，

所以直线l的方程为或。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|=2，|AB|最小值为2，

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若圆的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问OP与OQ是否垂直？若可以，请给出证明；若不可以，请说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）设A，B()，F(c，0)，

则，∴，

，

∴，∴b=1，

所以有椭圆E的方程为。

（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，

设直线L的方程为y=kx+m，L与圆相切，

∴，∴，

L的方程为y=kx+m代入中得：

，

令，

，① ，②　

，③

，

∴。

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