- 椭圆
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已知圆M:(x+)2+y2=36,定点N(
,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足
。
(1)求点G的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由。
正确答案
解:(1)Q为PN的中点,且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线
|PG|=|GN|
|GN|+|GM|=|MP|=6
G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,
且a=3,c=,b=2,
∴点G的轨迹方程是;
(2)因为
所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=|
|,则四边形OASB为矩形
∴
若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由
得
∴与
矛盾,故l的斜率存在
设l的方程为
由
∴ ①
②
把①、②代入得
∴存在直线或
使得四边形形OASB的对角线相等。
如图,椭圆(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点。
(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动,恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范围。
正确答案
解:(1)设M,N为短轴的两个三等分点,因为△MNF为正三角形
所以
即1=
解得
因此,椭圆方程为;
(2)设
(i)当直线AB与x轴重合时
因此,恒有。
(ii)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为代入
整理得
所以
因为
所以∠AOB恒为钝角
即恒成立
又
所以对m∈R恒成立,
即对m∈R成立
当m∈R时,最小值为0
所以
因为a>0,b>0
所以
即
解得a>或a<
(舍去)
即a>
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+
)。
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,离心率
,右准线方程为x=2,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且,求直线l的方程。
正确答案
解:(Ⅰ)由条件有,解得
,
∴,
所以,所求的椭圆方程为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知、
,
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,
将x=-1代入椭圆方程得:,
不妨设、
,
∴,
∴,与题设矛盾.
所以,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1),
设、
,联立方程组
,消y得:
,
由根与系数的关系知,从而
,
又∵,
∴,
∴,
∴,化简得:
,
解得k2=1或,∴k=±1,
所以,所求直线l的方程为y=x+1或者y=-x-1。
椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离及离心率均为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B。
(1)求椭圆方程;
(2)若,求m的取值范围。
正确答案
解:(1)由得
∴椭圆C的方程为;
(2)设直线l的方程为
由得
由此得 ①
设l与椭圆C的交点为
则
由得
∴整理得
∴
整理得
∵时,上式不成立
∴ ②
由①②式得
或
∴m取值范围是。
设椭圆C:(a>b>0)的离心率e=
,右焦点到直线
的距离为d=
,O为坐标原点。
(1)求椭圆的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值。
正确答案
解:(1)由得
即
∴
由右焦点到直线的距离为
得
解得
所以椭圆C的方程为。
(2)设
直线AB的方程为
与椭圆联立消去y得
∵
∴
∴
即
∴
整理得
所以O到直线AB的距离
∵
∴
当且仅当OA=OB时取“=”号。
由得
∴
即弦AB的长度的最小值是。
已知椭圆C:两个焦点之间的距离为2,且其离心率为
,
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若F为椭圆C的右焦点,经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A,且满足,求△ABF外接圆的方程。
正确答案
解:(Ⅰ),
∴,∴
,
∴椭圆C的标准方程是。
(Ⅱ)由已知可得,
设,则
,
∵,
∴,即
,
代入,得:
或
,即A(0,-1)或A
;
当A为(0,-1)时,|OA|=|OB|=|OF|=1,△ABF的外接圆是以O为圆心,以1为半径的圆,该外接圆的方程为;
当A为时,
,所以△ABF是直角三角形,其外接圆是以线段BA为直径的圆,
由线段BA的中点以及
可得△ABF的外接圆的方程为
;
综上所述,△ABF的外接圆的方程为或
。
已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O,C1和C2有公共焦点F,点F在x轴正半轴上,且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列。
(Ⅰ)当C2的准线与C1右准线间的距离为15时,求C1及C2的方程;
(Ⅱ)设过点F且斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,交C2于M,N两点。当时,求|MN|的值。
正确答案
解:(Ⅰ)设C1:,其半焦距为c(c>0),则C2:
,
由条件知,得a=2c,
C1的右准线方程为,即x=4c,
C2的准线方程为x=-c,
由条件知5c=15,所以c=3,故a=6,,
从而C1:,C2:
。
(Ⅱ)由题设知l:y=x-c,设,
由(Ⅰ)知C1:,即
,
由, 知x3,x4满足
,
从而,
由条件,得
,
故C2:,
由得
,所以
,
于是。
已知椭圆M:的面积为πab,且M包含于平面区域Ω:
内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为
,
(1)试求椭圆M的方程;
(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C,D两点,点P(1,
)为椭圆M上一点,记直线PC的斜率为k1,直线PD的斜率为k2,试问:k1+k2是否为定值?请证明你的结论。
正确答案
解:(1)平面区域Ω:是一个矩形区域,如图(1)所示,
依题意及几何概型知识,可得,
故ab=2,因为0<a≤2,0<b≤
,
所以a=2,b=,
所以椭圆M的方程为。
(2)如图(2),设直线l的方程为,
,
联立直线l的方程与椭圆方程得,
将①代入②得,
化简得,③
当△>0,即,
也即|b|<2时,直线l与椭圆有两交点,
由韦达定理得,
所以,
则
,
所以k1+k2为定值。
已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P(-
,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足
。
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上任一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围。
正确答案
解:(1)由已知,点在椭圆上,
所以 ①
又
所以点M是PF2的中点,点M在y轴上
故
所以
所以 ②
由①②解得
所以所求的椭圆方程为;
(2)因为N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),
所以
解得
所以3x1-4y1=-5x0 由点N(x0,y0)在椭圆上,故-2≤x0≤2,
所以-10≤-5x0≤10,
所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10]。
已知椭圆长轴端点为A、B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且,
,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P、Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰好为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
正确答案
解:(1)设椭圆方程为,
由题意,且
,
∴,
椭圆方程为:。
(2)假设存在直线l,使点F恰好为△PQM的垂心,设,
∵M(0,1),F(1,0),
∴,故
,于是设直线l的方程为y=x+m,
由得
,
,即
,且
,
又,且
,
由,
得
,
∴,
化简得,解得:m=1,
,
当m=1时,P、Q、M三点共线,故舍去,经检验符合条件;
故存在直线l满足条件,其方程为。
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