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题型:简答题
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简答题

已知圆M:(x+2+y2=36,定点N(,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足

(1)求点G的轨迹C的方程;

(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由。

正确答案

解:(1)Q为PN的中点,且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|

|GN|+|GM|=|MP|=6G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,

且a=3,c=,b=2,

 ∴点G的轨迹方程是

(2)因为

所以四边形OASB为平行四边形

若存在l使得||=||,则四边形OASB为矩形

若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由

矛盾,故l的斜率存在

设l的方程为

 ①

 ②

把①、②代入

∴存在直线使得四边形形OASB的对角线相等。

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简答题

如图,椭圆(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点。

(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;

(2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动,恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范围。

正确答案

解:(1)设M,N为短轴的两个三等分点,因为△MNF为正三角形

所以

即1=

解得

因此,椭圆方程为

(2)设

(i)当直线AB与x轴重合时

因此,恒有

(ii)当直线AB不与x轴重合时,

设直线AB的方程为代入

整理得

所以

因为

所以∠AOB恒为钝角

恒成立

所以对m∈R恒成立,

对m∈R成立

当m∈R时,最小值为0

所以

因为a>0,b>0

所以

解得a>或a<(舍去)

即a>

综合(i)(ii),a的取值范围为(,+)。

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简答题

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,离心率,右准线方程为x=2,

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且,求直线l的方程。

正确答案

解:(Ⅰ)由条件有,解得

所以,所求的椭圆方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,

将x=-1代入椭圆方程得:

不妨设

,与题设矛盾.

所以,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1),

,联立方程组,消y得:

由根与系数的关系知,从而

又∵

,化简得:

解得k2=1或,∴k=±1,

所以,所求直线l的方程为y=x+1或者y=-x-1。

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简答题

椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离及离心率均为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B。

(1)求椭圆方程;

(2)若,求m的取值范围。

正确答案

解:(1)由

∴椭圆C的方程为

(2)设直线l的方程为

由此得  ①

设l与椭圆C的交点为

整理得

整理得

时,上式不成立

 ②

由①②式得

∴m取值范围是

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简答题

设椭圆C:(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线的距离为d=,O为坐标原点。

(1)求椭圆的方程;

(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值。

正确答案

解:(1)由

由右焦点到直线的距离为

解得

所以椭圆C的方程为

(2)设

直线AB的方程为

与椭圆联立消去y得

整理得

所以O到直线AB的距离

当且仅当OA=OB时取“=”号。

即弦AB的长度的最小值是

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简答题

已知椭圆C:两个焦点之间的距离为2,且其离心率为

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若F为椭圆C的右焦点,经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A,且满足,求△ABF外接圆的方程。

正确答案

解:(Ⅰ)

,∴

∴椭圆C的标准方程是

(Ⅱ)由已知可得

,则

,即

代入,得:,即A(0,-1)或A

当A为(0,-1)时,|OA|=|OB|=|OF|=1,△ABF的外接圆是以O为圆心,以1为半径的圆,该外接圆的方程为

当A为时,,所以△ABF是直角三角形,其外接圆是以线段BA为直径的圆,

由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为

综上所述,△ABF的外接圆的方程为

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简答题

已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O,C1和C2有公共焦点F,点F在x轴正半轴上,且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列。

(Ⅰ)当C2的准线与C1右准线间的距离为15时,求C1及C2的方程;

(Ⅱ)设过点F且斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,交C2于M,N两点。当时,求|MN|的值。

正确答案

解:(Ⅰ)设C1,其半焦距为c(c>0),则C2

由条件知,得a=2c,

C1的右准线方程为,即x=4c,

C2的准线方程为x=-c,

由条件知5c=15,所以c=3,故a=6,

从而C1,C2

(Ⅱ)由题设知l:y=x-c,设

由(Ⅰ)知C1,即

, 知x3,x4满足

从而

由条件,得

故C2

,所以

于是

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简答题

已知椭圆M:的面积为πab,且M包含于平面区域Ω:内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为

(1)试求椭圆M的方程;

(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C,D两点,点P(1,)为椭圆M上一点,记直线PC的斜率为k1,直线PD的斜率为k2,试问:k1+k2是否为定值?请证明你的结论。

正确答案

解:(1)平面区域Ω:是一个矩形区域,如图(1)所示,

依题意及几何概型知识,可得

故ab=2,因为0<a≤2,0<b≤

所以a=2,b=

所以椭圆M的方程为

(2)如图(2),设直线l的方程为

联立直线l的方程与椭圆方程得

将①代入②得

化简得,③

当△>0,即

也即|b|<2时,直线l与椭圆有两交点,

由韦达定理得

所以

所以k1+k2为定值。

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简答题

已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P(-,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足

(1)求椭圆C的方程;

(2)椭圆C上任一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围。

正确答案

解:(1)由已知,点在椭圆上,

所以 ①

所以点M是PF2的中点,点M在y轴上

所以

所以  ②

由①②解得

所以所求的椭圆方程为

(2)因为N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),

所以

解得

所以3x1-4y1=-5x0 由点N(x0,y0)在椭圆上,故-2≤x0≤2,

所以-10≤-5x0≤10,

所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10]。

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简答题

已知椭圆长轴端点为A、B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且

(1)求椭圆的标准方程;

(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P、Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰好为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。

正确答案

解:(1)设椭圆方程为

由题意,且

椭圆方程为:

(2)假设存在直线l,使点F恰好为△PQM的垂心,设

∵M(0,1),F(1,0),

,故,于是设直线l的方程为y=x+m,

,即,且

,且

化简得,解得:m=1,

当m=1时,P、Q、M三点共线,故舍去,经检验符合条件;

故存在直线l满足条件,其方程为

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