热门试卷

解：（1），得

椭圆方程为；

（2）设B，过圆心O′作于D，交长轴于H

由得

即 ①

又B在椭圆上

 ②

由①、②式得

解得或（舍去）；

（3）直线EF与圆Ｏ′的相切

设过点与圆相切的直线方程为：　③

则

即

解得

将③代入得

则异于零的解为

设，

则

则直线EF的方程为

即

则圆心到直线FE的距离

故结论成立。

解：（1）由题意设椭圆的标准方程为

由已知得a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆的标准方程为。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立

得

又

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0）

∴

∴

∴

解得m1=-2k，

且均满足3+4k2-m2>0

当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当时，l的方程为

直线过定点

所以，直线l过定点，定点坐标为。

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，

所以，

又a2=b2+c2，因此b=2，

故椭圆的标准方程为，

由题意设等轴双曲线的标准方程为，

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，

因此双曲线的标准方程为。

(Ⅱ)设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

则，

因为点P在双曲线x2-y2=4上，所以x02-y02=4，

因此，即k1k2=1。

(Ⅲ)由于PF1的方程为y=k1(x+2)，

将其代入椭圆方程得，

由韦达定理得，

所以

，

同理可得，

则，

又k1k2=1，

所以，

故|AB|+|CD|=|AB|·|CD|，

因此，存在λ=，使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．

解：(Ⅰ)设边界曲线上点P的坐标为(x，y)，则由|PA|+|PB|=10知，点P在以A，B为焦点，长轴长为2a=10的椭圆上，此时短半轴长，

所以考察区域边界曲线（如图）的方程为。

 (Ⅱ)易知过点P1，P2的直线方程为4x-3y+47=0，

因此点A到直线P1P2的距离为，

设经过n年，点A恰好在冰川边界线上，

则利用等比数列求和公式可得，

解得n=5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上．

解：(Ⅰ)因为，且c=，

所以，，

所以椭圆C的方程为。

(Ⅱ)由题意知P(0，t)(-1＜t＜1)，

由得，

所以圆P的半径为，

当圆P与x轴相切时，，

解得，

所以点P的坐标是。

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，圆P的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2)，

因为点Q（x，y）在圆P上，

所以，，

设，

则，

当，即，且x=0时，y取最大值2。

解：(Ⅰ)根据题意，得，

∴，

∴，

又，∴，

∴，

∴，

∴椭圆C的方程为。

(Ⅱ)假设存在直线l满足条件F是三角形MPQ的垂心，

∵kMF=-1，且FM⊥l，

∴k=1，

∴设直线PQ方程为y=x+m，且设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由，消y得，，

，

且，

∴

，

又F为△MPQ的垂心，∴，

∴，

又，

∴

，

∴，

∴3m2+m-4=0，m=，m=1，满足m2＜3，但m=1时P与M点重合，舍去，

∴存在满足条件直线l，其方程为3x-3y-4=0。

解：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆上，

∴，曲线C的方程为．

（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，　

代入曲线C的方程，可得，

∵0＜t＜2，

∴，　

∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）

设点A，B的坐标分别，则，

要使∠ANB被x轴平分，只要，

即，，

也就是，，

即，即只要（nt-4）s=0，

当时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分，

所以在x轴上存在定点，使得∠ANB总能被x轴平分。

解：(Ⅰ)∵，，解得a=2，c=，

∴b2=a2-c2=2，

∴椭圆的标准方程为；

(Ⅱ)设P(x，y)，，

则由，得，

∴x=，y=，

∵M，N在椭圆上，

∴，

∴

，

设分别表示直线OM，ON的斜率，

由题设条件知，，

∴，

∴=20，

∴点P在椭圆上，

该椭圆的右焦点为F(，0)，离心率e=，右准线为l：x=2，

∴根据椭圆的第二定义，存在定点F(，0)，使得|PF|与点P到直线l的距离之比为定值。

解：(Ⅰ)由，得3a2=4c2，再由c2=a2-b2，解得a=2b，

由题意可知，即ab=2，

解方程组，得a=2，b=1，

所以椭圆的方程为。

(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)可知点A的坐标是（-2，0），

设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2)，

于是A，B两点的坐标满足方程组，

消去y并整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0，

由，得，从而，

所以，

由，得，

整理得32k4-9k2-23=0，

即(k2-1)(32k2+23)=0，

解得k=±1，

所以直线l的倾斜角为或。

(ⅱ)设线段AB的中点为M，由(ⅰ)得M的坐标为，

以下分两种情况：

(1)当k=0时，点B的坐标是(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，

于是，

由4，得；

(2)当k≠0时；线段AB的垂直平分线方程为，

令x=0，解得，

由，

整理得，

，

故，故，

所以；

综上，或。