椭圆_章节学习_百度题库

1

题型：简答题

|

简答题

如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆的动点，P到两焦点距离之和等于4。

（Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线l的方程为x=4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c，得；

∴椭圆的标准方程为，圆的标准方程为；

（Ⅱ）设P（x，y），则M（4，y），F（1，0），

∵P（x，y）在椭圆上，

∴，，，

∴

（1）若|PF|=|FM|，则，解得x=-2或4，

∵|x|≤2，

当x=-2时，|PF|+|FM|=|PM|与三角形两边之和大于第三边矛盾，

∴|PF|≠|PM|；

（2）若|PM|=|FM|，则，解得x=4或，

∵|x|≤2，

∴，∴，

∴，

综上可知，存在两点，，使得△PFM为等腰三角形。

1

题型：简答题

|

简答题

已知，椭圆C过点，两个焦点为（-1，0），（1，0）。

（1）求椭圆C的方程；

（2） E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

正确答案

解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，

解得，（舍去），

所以，椭圆方程为。

（2）设直线AE方程为：，

代入得

，

设E（xE，yE），F（xF，yF），

因为点在椭圆上，

所以，，

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得

，，

所以直线EF的斜率为，

即直线EF的斜率为定值，其值为。

1

题型：简答题

|

简答题

已知点，圆：与椭圆：有一个公共点，分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆相切．

（Ⅰ）求的值与椭圆的方程.

（Ⅱ）设为椭圆上的一个动点，求·的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）点代入圆方程，得．

∵＜3，

∴＝1．

圆：

设直线1的斜率为，则1：，

即．

∵直线1与圆相切，

∴．

解得．

当＝时，直线1与轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当＝时，直线1与轴的交点横坐标为－4，

∴＝4．1（－4，0），2（4，0）．

2＝1＋2＝，，2＝18，2＝2．

椭圆的方程为：．

（Ⅱ），

设（，），，．

∵，即，

而，

∴－18≤618．

则的取值范围是[0，36]．

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1，

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值。

正确答案

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为c，

则，

由题意，得，

∴，

故椭圆方程为。

(Ⅱ)，

设直线PF1的斜率，直线PF2的斜率，

∵，

∴∠F1PF2为锐角，

∴，

当时，取到最大值，

此时∠F1PF2最大，故∠F1PF2的最大值为。

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为。

（1）求椭圆的方程；　　

（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C 、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由。

正确答案

解：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，　　

依题意得，解得：，　　

∴椭圆方程为。

（2）假若存在这样的k值，

由得，　

∴，　　　　　　　　　　　　　　① 　　

设，则，　　　　② 　　

而，　　

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，

即，　　

∴，　　　　　　　　　③ 　　

将②式代入③整理，解得经验证，，使①成立；

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E。

1

题型：简答题

|

简答题

已知圆O：x2+y2=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线：x=-4为准线的椭圆。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；

（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且，试求此时弦PQ的长。

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，

则：，从而：，故b=2，

所以椭圆的标准方程为。

（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K的方程为与圆O：联立消去得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）。

（Ⅲ）设，则，………①

，

∴，即：，

代入①解得：（舍去正值），

∴，所以PQ：x-y+2=0，

从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离，

从而。

1

题型：简答题

|

简答题

已知直线：x=my+1过椭圆C：的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线交y轴于点M，且，当m变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；

（3）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由。

正确答案

解：（1）易知椭圆右焦点F（1，0），

∴c=1，

又抛物线的焦点坐标为，

∴b=，b2=3，

∴，

∴椭圆C的方程为。

（2）易知，且与y轴交于，

设直线与椭圆交于，

由，

∴，

又由，

∴，

∴，同理，

∴，

∵，

∴，

所以，当m变化时，的值为定值。

（3）先探索，当m=0时，直线轴，

则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交，FK的中点N，且，

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点，

证明：由（2）知，，

∴，

当m变化时，首先证直线AE过定点，

∵：，

当时，

，

∴点在直线上，

同理可证也在直线上，

∴当m变化时，AE与BD相交于定点。

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线方程，椭圆方程，A、D分别是双曲线和椭圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，

|OC|，|OD|成等比数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标．

正确答案

解：（1）由已知A是双曲线的右准线与x轴的交点，B为双曲线的右顶点，

双曲线方程，

∴

∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．

∴

∵D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，

∴

∴所求椭圆的方程为；

（2）由（1）知，C（2，0），E（﹣2，0），

设直线EM的方程为：y=k（x+2），P（，）

∵MC⊥CE，

∴M（2，4k）

将y=k（x+2）代入

整理得（1+2k2）+8k2x+8k2﹣4=0

∵

∴

∴P（）

设Q（，0），≠﹣2

若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP

∴

∵，

∴=0

∴

∴=0

∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点．

1

题型：简答题

|

简答题

已知直线y=-x+m与椭圆+=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若向量•=0（其中0为坐标原点），求m的值．

正确答案

（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，焦距为2，

∴=，2c=2

∴c=1，a=

∴b==

∴椭圆方程为+=1；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

将直线y=-x+m，代入椭圆方程，整理可得5x2-6mx+3m2-6=0

∴x1+x2=，x1x2=

∴y1y2=

∵•=0（其中0为坐标原点），

∴x1x2+y1y2=0

∴+=0

∴m=±，此时△=36m2-20（3m2-6）=＞0．

1

题型：简答题

|

简答题

设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求C1，C2的标准方程；

（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M，N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），

则有=2p（x≠0），

据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，

易求C2：y2=4x，

设C1：=1（a＞b＞0），

把点（-2，0）（）代入得

解得，

∴C1方程为；

（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），

设其方程为x-1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，

得=0（*）

由消去x，

得（m2+4）y2+2my-3=0，△=16m2+48＞0，

∴①

②

将①②代入（*）式，得

解得m=±，

∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点F，

l的方程为：2x±y-2=0。

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案