热门试卷

解：（1）设点F（c，0），B（0，﹣b），C（x，y）

由=3，得：（c，b）=3（x﹣c，y）

解得：C（c，）

代入椭圆方程得：+=1，

∴e==，a2=2c2，b=c；

（2）由（1）椭圆方程可写为+=1，点C（b，），

直线AC：x+2y﹣2b=0，

，AC=b，

设点P（x，y）：x2+2y2=2b2，

点P到直线AC距离为d=，

（x+2y）2=x2+4y2+4xy≤x2+4y2+2（x2+y2）=3（x2+2y2）=6b2，

∴dmax=b，

∴由Smax==知

b2=1，

椭圆方程为：x2+2y2=2

解：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，

∴，①

又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为，

∴得上交点为，

∴，②

由①代入②得（舍去），

从而，

∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为；

（2）∵倾斜角为45°的直线l过点F，

∴直线l的方程为，

由（1）知椭圆的另一个焦点为，

设与F1关于直线l对称，

则得，

又M（1，-2）满足y2=4x，

故点M在抛物线上。

所以抛物线y2=4x上存在一点M（1，-2），使得M与F1关于直线l对称。

解：（1）由题意知：，

设，

因为F1PF2Q为正方形，所以，即b=3c，

∴，

所以离心率；

（2）因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为，

所以切线方程为，

因为在轴上的截距为，所以c=1，

所求椭圆方程为。

解：（1）设椭圆E的方程为

由，得

，b2=a2-c2=3c2

∴

将A（2，3）代入，有

解得c=2

∴椭圆E的方程为。

（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），

所以直线AF1的方程为

即3x-4y+6=0

直线AF2的方程为x=2

由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数

设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，

则有

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去

于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0

所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0。

解：（1）由题意，设椭圆C的方程为：

∴=4

∴a=2

又c=1

∴

故椭圆C的方程为：。

（2）由题意可得，抛物线E：y2=4x，

设l：y=k（x-1）（k≠0），

联立方程组

消去y得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，

Δ=16（k2+1）>0恒成立

设A（x1，y1），B（x2，y2），

，x1·x2=1

①∵

又，

∴

∴x1-x2=4，

|AF2|-|BF2|=x1-x2=4。

②假设|AB|=|F2D|

因为直线l过点F2，

所以

又D（0，-k），F2（1，0）

∴

由|AB|=|F2D|

∴

∴k4-16k2-16=0，

所以（负值舍去），

从而，

所以当l的方程为时有|AB|=|F2D|。

解：（1）设点，的坐标分别为（﹣c，0），（c，0）（c＞0），

则，

故，解得c=4，

所以，

所以，

所以椭圆E的方程为．    

（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），

则，

因为，

所以，即mn=﹣9，

又因为圆C的圆心为，半径为，

所以圆C的方程为，

即（x﹣5）2+y2﹣（m+n）y+mn=0，即（x﹣5）2+y2﹣（m+n）y﹣9=0，

令y=0，可得x=8或2，

所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．

解：（1）抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点

∴，

∴b2=3，

又F（1，0），

∴c=1，a2=b2+c2=4．

∴椭圆C的方程为．

（2）l与y轴交于，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

故△=144（m2+1）＞0．

∴，

∴．

又由，得．

∴．

同理．

∴．

解：（I）点代入得：          

①        

又 ②  

③        

由①②③得：

即椭圆的方程为；

（II）设；则    

得：      

过点与椭圆相切的直线斜率    

得：直线与椭圆只有一个交点。

解：（1）在直线x-y+1=0中，

令x=0得y=1；令y=0得x=-1，

∴c=b=1，

∴，

则椭圆方程为；

 （2）①，

M、N的中点坐标为，

所以；

②将直线PA方程y=kx代入，

解得，

记，

则，

于是C（m，0），

故直线AB方程为，

代入椭圆方程得，

由，

∴，

∴，

∴PA⊥PB。