热门试卷

解：(1)由题意得，得，所以a2=12，

结合a2=b2+c2，解得b2=3，

所以，椭圆的方程为。

(2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1+x2=0，，

依题意知，OM⊥ON，

易知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，

因为，

所以(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0，

即，

将其整理为，

因为，

所以，

所以，即。

解：(1)椭圆的一个焦点在直线l：x=1上，所以c=1，

又因为离心率e=，即=，

所以a=2，从而b2=3，

所以椭圆的方程为；

(2)证明：设T(1，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则=(，y0)，=(x2-x1，y2-y1)，=(x2-x1)+y0(y2-y1)．

又因为P、Q都在椭圆上，

所以，

两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0，

因为点T是PQ的中点，所以x1+x2=2，y1+y2=2y0，

于是(x1-x2)+y0(y1-y2)=0，

所以(x1-x2)+y0(y1-y2)=0，

即=0，所以RT⊥PQ，

即RT是线段PQ的垂直平分线，所以恒有|RP|=|RQ|。

解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2

令y=0得即，则F1（-1，0），F2（1，0），故c=1

所以

于是椭圆C1的方程为：；

（2）设N（t，t2-1），由于知直线PQ的方程为

即

代入椭圆方程整理得：

=

，

故

设点M到直线PQ的距离为d，则

所以的面积S=

当时，取到“=”，经检验此时，满足题意

综上可知，的面积的最大值为。

解：（1）依题意知，直线的方程为：，①

直线的方程为：，    ②

设Q（x，y）是直线与的交点，①×②得，

由mn=3，整理得，

∵不与原点重合，

∴点不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为（x≠±2）。

（2）由（1）知，点G（1，0）和G′（-1，0）为椭圆的两焦点，

由椭圆的定义，得，即，

∴以G′为圆心，以4为半径的圆与⊙P内切，

即存在定圆⊙G′，该定圆与⊙P恒内切，其方程为。

（1）椭圆的焦点在横轴上，c=4，且由椭圆的定义 2a=10，a=5，解得b=3，椭圆方程是 +=1

（2）椭圆的焦点在纵轴上，c=2．由椭圆的定义，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于2a．∴2a=+=2，a=，∴椭圆方程是 +=1

（1）设椭圆的方程为：+=1(a＞b＞0)，

由题意知，b•(2c)=，且e==，

解得：a=1，b=c=．

故椭圆C的方程为：y2+2x2=1．

（2）由=λ得，-=λ(-)，

∴(1+λ)=+λ=4，

∴1+λ=4，λ=3．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，

且与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

由得：（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0，

∴△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0，x1+x2=-，x1x2=，

由=3得-x1=3x2，

∴x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22，

消去x1，x2得：3（x1+x2）2+4x1x2=0，

即3()2+4×=0，（4m2-1）k2=2-2m2．

当m2=时，上式不成立，∴k2=，

代入△＞0，即k2＞2m2-2，得＞2m2-2恒成立，

即＞0，解得＜m2＜1，

∴-1＜m＜-或＜m＜1．

当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=0得m=±．

综上所述：m的取值范围为(-1，-]∪[，1)．

解：（1）由题意，可设所求椭圆的方程为，易得，

则有：     解之，得，

从而有．

所求椭圆的方程为．          

（2）直线与圆相切．                  

证明如下：易得椭圆的右焦点为，右准线为．  

设点，则有，

又，

直线的方程为，

令，得，

即，

，

又，

于是有，

故，

直线与圆相切．

解：（1）∵P在椭圆E上，

∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2

∵PF1⊥F1F2，

∴ |F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=

2c=2，c=1，

∴b2=3

所以椭圆E的方程是

∵F1（-1，0），F2（1，0），

∵PF1⊥F1F2，

∴。

（2）线段PF2的中点

∴以为圆心，PF2为直径的圆M的方程为

圆M的半径

以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=4，圆心为O（0，0），半径为R=2，

圆M与圆O的圆心距为

所以两圆相内切。

（3）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切，

设F′

是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m>0），

∵点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，

则有|GF|+|CF'|=2m，

则以GF为直径的圆的圆心是M，圆M的半径为，

以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R=m，

两圆圆心O，M分别是FF'和FG的中点，

∴两圆心间的距离R-r

所以两圆内切。

解：（1）设焦距为2c，

由已知可得F1到直线l的距离，故c=2，

所以椭圆C的焦距为4；

（2）设，由题意知，

直线l的方程为，

联立得，

解得，

因为，所以，

即，得a=3，

又c=2，故，

故椭圆C的方程为。