热门试卷

解：（Ⅰ）由椭圆上的点到两焦点F1、F2两点的距离之和等于4，知，

又点在椭圆上，

因此，

于是，

所以，所求的椭圆方程为，焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）。

（Ⅱ）设中点M（x，y），并设动点，

则，即，

又因为点在椭圆上，于是，

即，

化简，得，

所以，点M的轨迹方程为。

解：（1）设椭圆C的方程为（其中a>b>0），

由题意知，且

解得a2=4，b2=2，c2=2，

所以椭圆C的方程为。

（2）由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，

则|F1A|+|BF1|=2|AB|，

而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，

所以|AB|=

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=

代入椭圆C的方程

化简，得

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

又

解得k=±1；

当直线l的斜率不存在时，，代入椭圆方程，得y=±1，

∴|AB|=2，不合题意，

所以，直线l的方程为。

解：（1）抛物线的焦点为（1，0），

设椭圆方程为，则，

∴椭圆方程为；

（2）设P（x，y），则

，

①当时，x=4t，即时，；

②当时，x=2，即P（2，0）时，；

综上，。

解：（1）设P（x，y）代入

得点P的轨迹方程为。

（2）设过点C的直线斜率存在时的方程为y= k（x+1），

且 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在上

则由

∴，

∴

∴

∵k2≥0

∴

∴

当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x=-1

解得

此时

所以的取值范围为。

解：(1)∵9x2+4y2=36，

∴a=3，b=2，c=，

与之有共同焦点的椭圆可设为，

代入(2，-3)点，解得m=10或m=-2(舍)，

故所求方程为；

(2)①若∠PF2F1=90°，则|PF2|=，

∴|PF1|=2a-|PF2|=，

于是|PF1|：|PF2|=2；

②若∠F1PF2=90°，则，

令|PF1|=p，|PF2|=q，

得，

∵Δ＜0，∴无解，即这样的三角形不存在；

综合①②知|PF1|：|PF2|=2。

解：如图，建系，

则，则，

设交点为P，P为AD中点，则 ，

∴，

∴，

∴，

∴。

：

设长轴长为2a，焦距为2c，

则在△F2OB中，由∠F2BO=得：c=a，

所以△F2BF1的周长为2a+2c=2a+a=4+2，

∴a=2，c=，

∴b2=1；

故所求椭圆的标准方程为+y2=1．

（1）∵左焦点为F1（-，0），

∴c2=a2-b2=2，

∵椭圆过点M（，1），

∴+=1，

联立，得a2=4，b2=2，

∴椭圆C方程：+=1．

（2）存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足•=0．

设直线l为y=kx+2，

把y=kx+2代入+=1，并整理，得（2k2+1）x2+8kx+4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2 =-，x1x2=，

y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=4-，

∵•=0，∴

OA

2+

OB

2=

AB

2，

∴x1x2+y1y2=0，

∴+4-=0，

解得k=±，

∴直线l为y=x+2或y=-x+2．

（Ⅰ）由已知得：，解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为+y2=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A1（-2，0），A2（2，0），B1（0，1）．

∴kA2B1=-．

∵l∥A1B1，∴kl=kA2B1=-．

可设直线l的方程为y=-x+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立消去y得x2-2mx+2m2-2=0．

∵直线l与椭圆有不同的两个交点，

∴△=4m2-4（2m2-2）＞0，即-＜m＜，

∴x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．

∵P，Q异于椭圆C的顶点，∴α≠，β≠，∴tanα=kA1P=，tanβ=kB1Q=．

∴tanα+tanβ=+=．

∵y1=-x1+m，y2=-x2+m．

∴tanα+tanβ===0，

∴tan(α+β)==0．

又∵α，β∈（0，π），∴α+β∈（0，2π），故α+β=π．