热门试卷

解：（1）由题意，MQ是线段AP的垂直平分线，

故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|

>|CA|=2

于是点Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴的椭圆，短半轴

∴点O的轨迹方程是：。

（2）因直线l过点（0，2）且斜率为2，则直线l的方程为：y=2x+2，即2x-y+2=0，

故点O（0，0）到直线l的距离d=

把y=2x+2代入（1）中的方程化简，

得9x2+16x+6=0

∴Δ=162-4×9×6=40>0

设B（x1，y1），D（x2，y2），

则

∴

∴△BDO的面积为

。

（1）椭圆的标准方程为+=1（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，

∵△＞0，∴3+4k2-m2＞0，

x1+x2=-，x1x2=∴y1y2=（6分）

∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴kAD•kBD=-1，

∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，

∴m1=-2k，m2=-k，且均满足3+4k2-m2＞0，（9分）

当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾

当m1=-k时，l的方程为y=k(x-)，则直线过定点(，0)

∴直线l过定点，定点坐标为(，0)（12分）

解：设椭圆方程为

由已知，

∴

∴椭圆方程为。

∵焦点为F1（0，-5），F2（0，5），可设椭圆方程为+=1；

∵点P（3，4）在椭圆上，∴+=1，解得a2=40，

∴椭圆方程为+=1．

故答案为+=1．

解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：

（2）设双曲线方程为：x2﹣4y2=λ， 

∵双曲线经过点（2，2），

∴λ=22﹣4×22=﹣12，

故双曲线方程为： ． 

解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，

设所求双曲线的方程为，

由题意，得，解得a=2，b=1，

所求双曲线的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，），F2（0，），

点F1，F2关于直线y=x的对称点分别为F1′（，0），F2′（，0），

又P（0，2），设椭圆方程为（m＞n＞0），

由椭圆定义，得2m=，m=3，

因为m2-n2=5，

所以n2=4，

所以椭圆的方程为。

（Ⅰ）因为e=，所以=    ①

因为过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|=，

经计算得=    ②

由a2=b2+c2，解①②得

a=，b=1，c=1，

所以椭圆的方程为+y2=1；

（Ⅱ）1°当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），

由，联立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0

所以△=8（2k2+1-m2）＞0

x1+x2=-，x1x2=，

于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

因为OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0

即=0

所以m2=

此时△=＞0满足条件，

设原点O到直线l的距离为d，

则d===．

2°当直线l的斜率不存在时，

因为OP⊥OQ，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP、OQ的方程分别为y=x，y=-x，

可得P(，)，Q(，-)或P(-，-)，Q(-，)，

此时原点O到直线l的距离仍为，

综上可得，原点O到直线l的距离为．

（1）由椭圆C的离心率e=得=，其中c=，

椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上

∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c=()2+(2-c)2解得c=1，a2=2，b2=1，

∴椭圆的方程为+y2=1．

（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由

消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），

则△=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-2）≥0

即2k2-m2+1≥0

则x1+x2=-，x1x2=，且kF2M=，kF2N=

由已知α+β=π，得kF2M+kF2N=0，即+=0．

化简，得2kx1x2+（m-k）（x1+x2-2m）=0

∴2k•--2m=0整理得m=-2k．

∴直线MN的方程为y=k（x-2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，

那么，

因此点M的轨迹是以A、C为焦点，长轴长为10的椭圆，

a=5，c=4，b=3，

其方程是：。