椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

求过点P(2，2)，且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程．

正确答案

椭圆+=1的焦点为(4，0)，(-4，0)所以c=4．

设所求椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，所以a2-b2=16．(1)

又椭圆经过点P(2，2)，所以+=1(2)

解由(1)(2)组成的方程组得a2=40，b2=24，所以所求椭圆方程为+=1

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题型：填空题

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填空题

已知曲线-=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为______．

正确答案

-=1表示焦点在y轴上的椭圆，

∴2-m＞m-1＞0

解得 1＜m＜2

故答案为：1＜m＜2．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0）的距离之和为2，且其焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B．问是否存在以A，B为直径的圆过椭圆的右焦点F2．若存在，求出m的值；不存在，说明理由．

正确答案

（Ⅰ）依题意可知

又b2=a2-c2，解得------------------（2分）

则椭圆方程为+y2=1．---------------------（4分）

（Ⅱ）联立方程消去y整理得：3x2+4mx+2m2-2=0（6分）

则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0

解得-＜m＜①--------------------（7分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

又F2（1，0），∴=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)

若存在，则•=0，即：（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，∴x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0②

又y1=x1+m，y2=x2+m，∴y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m2

代入②有2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2+1=0

∴2×+(m-1)(-)+m2+1=0，

解得m=-或m=------------------（11分）

检验都满足①，∴m=------------------（12分）

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题型：填空题

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填空题

若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为

______．

正确答案

设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，

则2（a+b）=18，即a+b=9①，

由焦距为6，得到c=3，则a2-b2=c2=9②，

由①得到a=9-b③，把③代入②得：

（9-b）2-b2=9，化简得：81-18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5，

所以椭圆的方程为：+=1或+=1．

故答案为：+=1或+=1

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知两点F1（-6，0）、F2（6，0），点P位于第一象限，且tan∠PF1F2=，tan∠PF2F1=2．

（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程．

正确答案

在平面直角坐标系xOy中，已知两点F1（-6，0）、F2（6，0），

且tan∠PF1F2=，tan∠PF2F1=2．

∴P（5，2），如图．

（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为

+=1（a＞b＞0），

其半焦距c=6

2a=|PF1|+|PF2|=+=6

∴a=3，b2=a2-c2=9．

所以所求椭圆的标准方程为 +=1

（2）点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）

设所求双曲线的标准方程为 -=1(a1＞0，b1＞0)

由题意知，半焦距

c1=6 2a1=||P′F1′|+|P′F2′||=|-|=4a1=2，

b12=c12-a12=36-20=16．

所以所求双曲线的标准方程为 -=1

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合，求此椭圆方程．

正确答案

∵抛物线y2=-4x的焦点为（-1，0）…．（2分）

∴c=1 …（4分）

又∵e==，∴a=2 …（6分）

∴b2=a2-c2=3 …（8分）

∴所求椭圆的方程为 +=1．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．

（1）若P（-1，），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；

（2）是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵P（-1，）在⊙O：x2+y2=b2上，

∴b2=4．（2分）

又∵PA是⊙O的切线

∴PA⊥OP

∴•=0

即（-1，）•（-1+a，）=0，解得a=4．

∴椭圆C的方程为+=1（5分）

（2）∵c2=a2-b2，A（-a，0），F（-c，0），P（x1，y1）

使得是常数，则有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（λ是常数）

∵x2+y2=b2

即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），（8分）

比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，（10分）

故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2-c3+ca2=a3，

即e3-2e+1=0，（12分）

（e-1）（e2+e-1）=0，符合条件的解有e=，

即这样的椭圆存在，离心率为．（16分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

正确答案

（1）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切

∴=b，∴b=1

∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，

∴=∴=

∴a2=2

∴椭圆C的方程为：+y2=1…（4分）

（2）由题意知直线AB的斜率存在．

设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

代入椭圆方程，消元可得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．

∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，∴k2＜．

∵+=t

∴x==，y=（8分）

∵点P在椭圆上，∴+2=2，

∴16k2=t2（1+2k2）…（10分）

∴t2=8-，

∵k2＜，∴t2∈（0，4）

∴t∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的短轴长与焦距相等，且过定点(1，)，倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求直线l在y轴上截距的取值范围；

（Ⅲ）求△ABP面积的最大值．

正确答案

（I）由题意可得，解得a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为+y2=1．

（II）设直线l的方程为：y=x+m．

联立，消去y得到3x2+4mx+2m2-2=0，

由△=16m2-24（m2-1）＞0，得m2＜3，即-＜m＜．

∴直线l在y轴上的取值范围是(-，)．

（III）设A（x1，y1），B（x2，y2）．AB中点Q（x0，y0）．

则x1+x2=-，x1x2=．

∴y1+y2=x1+x2+2m=．

∴x0==-，y0==．

∴Q(-，)．

∴AB的垂直平分线的方程为：y-=-(x+)．

令y=0，得x=-．即P(-，0)．

点P到直线AB的距离d=|PQ|==．

又|AB|===．

∴S△ABP=|AB|•d=××

==．

∵m2＜3，∴当且仅当m2=时，△ABP面积取得最大值．

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题型：简答题

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简答题

已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．

（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；

（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．

正确答案

解（1）∵e=，即=．又2c=2，解得a=，

则b==．

（2）

由

消去y得（a2+b2）•x2-2a2x+a2•（1-b2）=0，

由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．

设A（x1，y1，），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=．

∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．

∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），

∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0．

∴-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．

∵b2=a2-c2=a2-a2e2，代入上式得

2a2=1+，

∴a2=(1+)．

∵e∈[，]∴≤e2≤，

∴≤1-e2≤，

∴≤≤2，∴≤1+≤3，

∴≤a2≤，适合条件a2+b2＞1，

由此得≤a≤．

∴≤2a≤，

故长轴长的最大值为

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