热门试卷

解：（1）圆心C（m，0），（﹣1＜m＜1），

则⊙C的半径为：r=，

从而⊙C的方程为（x﹣m）2+y2=1﹣m2，

椭圆D的标准方程为：．

（2）当b=1时，椭圆D的方程为，

设椭圆D上任意一点S（x1，y1），

则，，

∵==≥1﹣m2=r2，

所以SC≥r．从而椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部．

（3）=b2+1为定值．

证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则由题意，得N（x1，﹣y1），x1≠x2，y1≠±y2，

从而直线PQ的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，

令y=0，得，

∵直线QN的方程为（y2+y1）x﹣（x2﹣x1）y﹣x1y2﹣x2y1=0，

令y=0，得．

∵点P，Q在椭圆D上，

∴，，

∴，，

∴xM·xL==

=b2+1．

∴=xM·xL=b2+1为定值．

解：（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，

∴==，

∴b2= a2  ①

再由椭圆经过点D（1，），可得 ，即 ②．

由①②解得 a2=4，b2=3，

故椭圆C的方程．

（2）由题意可得 A（﹣2，0），B（2，0），

∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ，sinθ）．

∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，

故可设p（4，y1），Q（4，y2）．

由题意可得 A、M、P三点共线，可得 KAM=KAP，

∴=，∴y1=3．

再由M、B、P 三点共线，可得 KBM=KBQ，

∴=，∴y2=．

∴=（6，3 ），=（2，）．

∴=（6，3 ）（2，）

=12+3=12+9 =12﹣9=3，

即 =3．

（3）由（2）|yp||yq|=9，

∴|PQ|=|yp﹣yq |=|yp|+|yq|≥2=6，

当且仅当|yp|=|yq|时等号成立，

故|PQ|的最小值为6．

解：(Ⅰ)设，由知，

∵，

∴，

由，得F1为的中点，

故，

∴，

故椭圆的离心率。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，即，

于是，

的外接圆圆心为，半径，

所以，由已知，得，解得：a=2，

∴，

所求椭圆方程为。

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，

由得，

设，

则，

，

由于菱形对角线垂直，则，

故，

则，

，

由已知条件知k≠0且k∈R，

∴，∴，

故存在满足题意的P且m的取值范围是。

解：（Ⅰ）设，

因为，所以，

整理得，

得（舍）或，所以。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，

直线PF2的方程为，

A，B两点的坐标满足方程组，

消去y并整理，得，解得，

得方程组的解，

不妨设，

所以，

于是，

圆心到直线PF2的距离，

因为，所以，

整理得，得（舍）或c=2，

所以椭圆方程为。

解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=

l的方程为y=x+c，其中

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组

 化简得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0

则

因为直线AB的斜率为1

所以

得

故a2=2b2所以E的离心率；

（2）设AB的中点为N（x0，y0），由（1）知

由|PA|=|PB|得kPN=-1

即得c=3，从而

故椭圆E的方程为。

解：（1）由题意，可设椭圆的方程为。

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率。

（2）由（1）可得A（3，0）。

设直线PQ的方程为。

由方程组得

依题意，得。

设，则， ①

②

由直线PQ的方程得。

于是。③

∵，∴。④

由①②③④得，从而。

所以直线PQ的方程为或。

（3）证明：

由已知得方程组

注意，解得

因，

故。

而，

所以。

解：（1）设F1(-c，0)，F2(c，0)，则M（c，y），

∴A(0，-b)，B(a，0)，且OM∥AB， ∴kOM=kAB，

∴，

又点M在椭圆上，

∴，∴e=；

（2）由（1）得a=c，b=c，

∴椭圆的方程为，

∵kAB=，

∴直线PQ的方程为y=-(x-c)，

∴点F1到直线PQ的距离d=c，

又由，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

∴x1+x2=c， x1x2=，

∴|PQ|=|x1-x2|=c，

=+c·c=20，

∴c2=，

∴a2=，b2=，

∴椭圆的方程为。

解：（1）由得，

当y=b+2得x=±4，∴G点的坐标为(4，b+2)，

，

过点G的切线方程为y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，

令y=0得x=2-b，

∴F1点的坐标为（2-b，0），

由椭圆方程得F1点的坐标为（b，0），

∴2-b=b即b=1，

即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，

∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，

同理以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个。

若以∠PAB为直角，设P点坐标为，A、B两点的坐标分别为，

由得，

关于x2的一元二次方程有一解，

∴x有二解，即以∠APB为直角的Rt△ABP有二个；

因此抛物线上共存在4个点使△ABP为直角三角形．

解：（Ⅰ）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F（-c，0），F2（c，0）

所以c2+b×0=b2，即c2=b2由a2=b2+c2=2c2所以椭圆C2的离心率；

（Ⅱ）由（I）可知a2=2b2，椭圆C2的方程为

联立抛物线C1的方程x2+by=b2得2y2-by-b2=0

解得或（舍去）

所以

即

所以△QMN的重心坐标为（1，0）

因为重心在C1上

所以12+b×0=b2，得b=1

所以a2=2

所以抛物线C1的方程为x2+y=1，椭圆C2的方程为。