热门试卷

解：（1）设椭圆的方程为或（a>b>0），

由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等直角三角形，因此b=c（2c为焦距）．

由题意得

解得

∴椭圆的方程为或

（2）椭圆离心率.

解：（Ⅰ）因为椭圆过点，

所以

又a2=b2+c2所以

故所求椭圆方程为；

（Ⅱ）（i）由于F1（-1，0）、F2（1，0），PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上

所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0

又直线PF1，PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1）

联立方程得

所以

由于点P在直线x+y=2上

所以

因此2k1k2+3k1-k2=0

即

结论成立；

（ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC） ，D（xD，yD）

联立直线PF1与椭圆的方程得

化简得（2k12+1）x2+4k21x+2k21-2=0

因此

由于OA，OB的斜率存在

所以xA≠0，xB≠0

因此k12≠0，1

因此

相似地可以得到

故

若kOA+kOB+kOC+kOD=0，须有k1+k2=0或k1k2=1

①当k1+k2=0时，结合（i）的结论，可得k2=-2，所以解得点P的坐标为（0，2）；

②当k1k2=1时，结合（i）的结论，解得k2=3或k2=-1（此时k1=-1，不满足k1≠k2，舍去），此时直线CD的方程为y=3（x-1），联立方程x+y=2得

因此

综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0，2），。

（1）解：由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上得：，

∴p=2

∴抛物线C1：y2=4x

同理由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，a=

∴椭圆C2：

（2）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k）直线与抛物线联立，消元可得

k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

∴x1+x2=，x1x2=1

∵

∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2∴，

∴λ1+λ2=为定值；

（3）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P'（x3，0），Q'（x4，0），

∵，

∴S（x3+x4，y3+y4）

∵

∴2x3x4+y3y4=﹣1①

∵P，Q在椭圆上，

∴②，

③

由①+②+③得（x3+x4）2+=1

∴点S在椭圆C2上

解：（Ⅰ）由，得，  

由直线l：x-y+2=0与圆相切得，

所以，

所以椭圆的方程是。   

（Ⅱ）由条件，知|MF2|=|MP|，

即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1：x=-1的距离，

由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。   

（Ⅲ）由（Ⅰ），得圆O的方程是，

直线m的方程是，

设，

由得，    

则，  

由得，     ①

因为△ORS是钝角三角形，

所以，

即

，

所以，                 ②

由A、R、S三点不共线，知k≠0，                 ③

由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是。

解：（1）设椭圆方程为

则，解得

∴椭圆方程

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又

∴l的方程为：

由，

∴x2+2mx+2m2﹣4=0

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，

∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0

即可设

由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4

而k1+k2==

=

=

=

=

∴k1+k2=0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

解：（1）由已知：，，

联立方程组求得：a=3，b=1，

所求方程为：

（2）依题意设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0），

代入椭圆方程并整理得：（1+9k2）x2+18kx=0，则，

同理

由|CE|=|CD|得k3+9k2+9k+1=0，即（k+1）（k2+8k+1）=0

（3）由题意得：T（0，﹣b），又知，

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

x1x2=﹣（y1﹣b）（y2﹣b）

又由得，

同理，

所以．

从而得

所以

而（为定值）．

对比上式可知：选取T（0，﹣b），则得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为

解：(Ⅰ)由知，①

由知a=2c，②

又b2=a2-c2，

由①，②，③解得a2=4，b2=3，

故椭圆C的方程为。

(Ⅱ)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

假设使成立的直线l存在，

(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，

由l与n垂直相交于P点且，得，

即，

由得，

将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0，

由求根公式可得，，

0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，

将④，⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0，

将m2=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)=0，矛盾，即此时直线l不存在；

(ⅱ)当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1，

则A，B两点的坐标为或，，

当x=1时，；

当x=-1时，，

∴此时直线l也不存在；

综上可知，使成立的直线l不存在。

解：（Ⅰ）连接（O为坐标原点，为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为，

因为FO是的中位线，且，

所以，

所以，

故，

在中，，

即，

又，

解得，

所求椭圆的方程为。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：，

设直线l的方程为y=k（x+2）并代入，

整理得：，

由得：，

设，

则由中点坐标公式得：，

①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆的两个顶点；

②当时，则，直线的方程为，

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

综上，当或或时， 直线过椭圆的顶点。

（Ⅲ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，

根据题意可设，则，

则直线的方程为，…①

过点P且与AP垂直的直线方程为，…②

①×②并整理得：，

又P在椭圆W上，

所以，所以，

即①、②两直线的交点B在椭圆W上，

所以PA⊥PB。

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为上顶点为

∴

故椭圆C的方程为。

（2）直线AS的斜率k显然存在，且，故可设直线AS的方程为，

从而

由得0

设则（-2）×得，

从而

即

又

由得

∴

故

又

∴

当且仅当，即时等号成立

∴时，线段MN的长度取最小值。

（3）由（2）可知，当MN取最小值时，

此时的方程为，S

∴

要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，

所以T在平行于且与距离等于的直线l′上。

设直线l′：

则由解得或

当由得

由于

故直线与椭圆C有两个不同的交点

当由得

由于，故直线l′与椭圆C没有交点

综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于。