热门试卷

解：（1）∵F1、F2分别是椭圆的左右焦点，P是该椭圆上的一个动点，

且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，

∴，即a=2，c=，

∴，

∴椭圆方程为．

（2）当l的斜率不存在时，即x=0不满足题设条件

设l为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

则，∴，

∴，

∵∠AOB=90°，

∴，

∴k2=4，k=±2．

解：（Ⅰ）设F1的坐标为（m，n），则且．

解得，因此，点F1'的坐标为（﹣）．

（Ⅱ）∵|PF1'|=|PF1|，根据椭圆定义，

得2a=|PF1'|+|PF2|=|F1F2|=，

∴．

∴所求椭圆方程为．

（Ⅲ）∵，∴椭圆的准线方程为x=±2．

设点Q的坐标为（t，2t+3）（﹣2＜t＜2），d1表示点Q到F2的距离，d2表示点Q到椭圆的右准线的距离．

则，

d2=|t﹣2|．=，

令，则

=，

∵当，，t=﹣，f'（t）＞0．

∴f（t）在t=﹣时取得最小值．

因此，最小值=，此时点Q的坐标为（﹣）

解：（1）由题意可知：a+c=+1，×2c×b=1，

∵a2=b2+c2∴a2=2，b2=1，c2=1

∴所求椭圆的方程为：

（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣1）

A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0

则

∴对于任意的=为定值．

解：（Ⅰ）由题意，，解得．

即椭圆方程为

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意，故舍掉；

当直线AB与x轴不垂直时，

设直线 AB的方程为：y=k（x+1），

代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

所以 ．

原点到直线的AB距离，

所以三角形的面积．

由可得k2=2，∴，

所以直线或．

解：（Ⅰ）设C方程为，则．

由，得a=4

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（i）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为，

代入，得x2+tx+t2﹣12=0

由△＞0，解得﹣4＜t＜4

由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．

四边形APBQ的面积

∴当t=0，．

（ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，

PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）

由

（1）代入（2）整理得

（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0

同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），

可得

∴

所以AB的斜率为定值．

解：（1）设椭圆方程为

则，解得

∴椭圆方程

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又

∴l的方程为：

由，

∴x2+2mx+2m2﹣4=0

直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，

∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，

只需证明k1+k2=0即可

设

由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4

而

=

=

=

=

∴k1+k2=0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

解：（1）由题意，得椭圆方程为。

（2）设直线AS的方程为，

从而可知M点的坐标为，

由，得，

所以可得BS的方程为，

从而可知N点的坐标为，

∴，当且仅当时，等号成立，

故当时，线段MN的长度取最小值。

（3）由（2）知，当|MN|取最小值时，，

此时直线BS的方程为，，

∴|BS|=，

要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，

所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线上。

则直线：或，

联立，，△<0，无解；

，△=44>0，有两个解；

所以T有两个。

解：（I）设椭圆的方程为，则 ，a，

∴，

∵椭圆过点，

∴，解得 a2=25，b2=9，

故椭圆C的方程为

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为y=kx+m，

因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，

消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0，

由于直线与椭圆相切，

故△=（50kmx）2﹣4（25k2+9）x25（m2﹣9）=0，

从而可得：m2=9+25k2，①，x1=，②

由．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0，

由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=，④

由②④得：x2﹣x1=，

由①③得：k2=，

∴|AB|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=

即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2

解：（1）因为2c=2，且，

所以c=1，a=2．

所以b2=3．

所以椭圆C的方程为．

（2）设点M的坐标为（x0，y0），则

．

因为F1（﹣1，0），，

所以直线l的方程为x=4．

由于圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．

因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，

所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，

即y02+10x0﹣15≥0．

又因为，

所以．

解得．

又，

∴

当时，，

所以．