热门试卷

解：（Ⅰ）由知   

           a2+b2=7，                                      ①

由 S=2S知

            a=2c，                                          ②

又      b2=a2﹣c2                                        ③

由 ①②③解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）

若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足，直线l的方程不存在．

若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且

得，即m2=k2+1                       ④

∵，，得知

OA⊥OB

所以x1x2+y1y2=0，

由得

（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

，，

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，

代入x1x2+y1y2=0中得

7m2﹣12k2﹣12=0．                      ⑤

由④⑤可知无解．所以此时l不存在．成立．

解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），

则=（x-a，y），=(-x，b-y)，

∴

又|AB|==8．

∴

∴曲线C的方程为

（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，

设直线PM的方程为x= my +4，

由消去x得（9m2+25）y2+72my-81=0

∴

∴

当

即时，△OPQ的面积取得最大值为，

此时直线方程为。

解：（I）由题意可得 c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ） 设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 y=kx﹣k．

代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，

∴x1+x2=，x1x2=．

∴=（m﹣x1，﹣y1 ）（m﹣x2，﹣y2）

=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=（m2+k2）+（1+k2）x1x2﹣（m+k2）（x1+x2）

=（m2+k2）+（1+k2）﹣（m+k2）

=  恒为定值，

∴，

∴m=．

解：（Ⅰ）由条件有，解得a=，c=1，

∴，

所以，所求椭圆的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，

将x=-1代入椭圆方程得，

不妨设M、N，

∴，

∴，与题设矛盾；

∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），

设，

联立，消y得，

由根与系数的关系知，

从而，

又∵，

∴，

∴，

∴，

化简得，

解得（舍），∴k=±1，

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1。

解：（1）由x2+y2-6x-2y+7=0得

∴圆M的圆心为（3，1），半径

由题意知A（0，1），F（c，0）（）

得直线AF的方程为，即x+cy-c=0

由直线AF与圆M相切得

∴，

故椭圆C的方程为；

（2）由

知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，

故可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为

将y=kx+1代入

整理得

解得x=0或

因此点P的坐标为

同理，点Q的坐标为

∴直线l的斜率为

直线l的方程为

故直线l过定点。

解（1）∵e=．又2c=2，解得a=，

则b=

∴

（2）由

消去y得（a2+b2）·x2﹣2a2·x+a2·（1﹣b2）=0，

由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，

整理得a2+b2＞1．

设A（x1，y1，），B（x2，y2），

则x1+x2=．

∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1．

∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），

∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2﹣（x1+x2）+1=0．

∴+1=0．

整理得a2+b2﹣2a2b2=0．

∵b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得

2a2=1+，

∴a2=．

∵e∈∴，

∴，

∴≤2，∴≤3，

∴，适合条件a2+b2＞1，

由此得．

∴，

故长轴长的最大值为

解：抛物线的焦点为

∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合

∴椭圆的一个顶点为，

即

∵，

∴a=2，

∴椭圆的标准方程为；

（2）解：由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交

①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），

∴，不合题意；

②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）

由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

，，

=

所以，

故直线l的方程为或；

（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）

由（2）可得：|MN|=

=

由消去y，

并整理得：，

|AB|=，

∴为定值 。

解：(Ⅰ)依题意，∴，

所求椭圆方程为；

(Ⅱ)设A(x，y)，

由得，

根据题设直线图象与椭圆的对称性，

知，

，

设，则M′(k)=，

当k≥2时，M′（k）=＞0，

∴M(k)在k∈[2，+∞）时单调递增，

∴，

∴当k≥2时，。

解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意

∴

∴所求椭圆方程为。

（2）设，

（i）当轴时，；

（ii）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为

由已知，得

把代入椭圆方程，整理得

∴

∴

当且仅当，即时等号成立

当时，，

综上所述，

∴当最大时，面积取最大值。