热门试卷

解：（1）依题意可知

求得a=3，b=1

∴椭圆的方程为：=1

（2）直线l不与坐标轴平行，

设为y=kx+b（k≠0），M（，），N（x2，y2）

联立方程：

则（9+k2）x2+2kbx+b2﹣9=0

△=（2kb）2﹣4（9+k2）（b2﹣9）＞0，k2﹣b2+9＞0

+x2=﹣，x2=

MN的中点的横坐标=（+x2）=﹣

所以+x2=﹣1

所以9+k2=2kb＞b2（k﹣b）2=b2﹣9≥0，b2≥9

b≥3或b≤﹣3

b（b﹣2k）＜0

所以b≥3＞0时，b﹣2k＜0，k＞≥

b≤﹣3＜0时，b﹣2k＞0，k＜≤﹣

所以k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

直线l的倾斜角的取值范围为：（arctan，）∪（，﹣arctan）

 解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程是，

则，

解得，

∴所求椭圆C的方程为．

（2）由（1）知，F（2，0），

由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，①

因为线段FP的中心为（3，），斜率为．

所以线段FP的垂直平分线方程为，即，②

联立①②，解得，

即：圆心M（1，），

∵t＞0，∴=2，

当且仅当，即t=2时，圆心M到x轴的距离最小，

此时圆心为M（1，2），半径为OM=3，

故所求圆M的方程为．

解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，

则解得

∴椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0

由题意：△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0

整理得：3+4k2﹣m2＞0

①设M（x1，y1）、N（x2，y2），

则，

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）

∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0

即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0

也即

整理得：7m2+16mk+4k2=0

解得：m=﹣2k或，均满足①

当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去

当时，直线l的方程为，过定点，

故直线l过定点，且定点的坐标为．

解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，

据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，

易求C2：y2=4x

设C1：，

把点（﹣2，0）（）代入

得：解得

∴C1方程为

（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；

当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），

设其方程为y=k（x﹣1），

与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）

由消掉y，

得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，

于是，①

y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]

即②

由，即，

得x1x2+y1y2=0（*），

将①、②代入（*）式，

得，

解得k=±2；

所以存在直线l满足条件，

且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．

解：(I)由题可知：  

解得，

∴椭圆C的方程为

  （II）设直线：，，，，，

由得

所以，.   

而，

∵

∴N、F、P三点共线

解：(1)∵F1，F2是A1A2的三等分点

∴a=3c

又∵|AF1|+|AF2|=6  

∴a=3  

∴b2=8

∴椭圆C的方程为：

（2）F1(-1,0),当直线与x轴重合时，显然不合题意，

当直线不与x轴重合时，设直线AF1：x=my-1 

 代入到椭圆方程并消元整理得：（8m2+9)y2-16my-64=0 …………①

△=162×9(m2+1)>0恒成立；

设A（x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是方程①的两个解，

由韦达定理得：

在x=my-1中令x=0得C点坐标为

(∵A在第一象限∴x1=my1-1>0,y1>0)

同理：

∵A在第一象限  

∴C点在椭圆内部

∴m+n的取值范围是（2，+∞）

解：（Ⅰ）由已知 ， ．

解得 ，

所以b2=a2﹣c2=1，

椭圆的方程为 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y=kx+1，

由 得（4k2+1）x2+8kx=0，

所以 ，所以 ，

依题意k≠0， ．

因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，

所以|BE|2=|BD||DE|，

所以b2=（1﹣yD）|yD|，

即（1﹣yD）|yD|=1，

当yD＞0时，yD2﹣yD+1=0，无解，

当yD＜0时，yD2﹣yD﹣1=0，解得 ，

所以 ，

解得 ，

所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时， ．  

解：（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．

在Rt△PF1F2中，，

故椭圆的半焦距c=，从而

b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．

已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，

所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．

从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，

代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．

因为A，B关于点M对称．

所以

解得，

所以直线l的方程为，

即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）

解：（Ⅰ）双曲线的焦点为（±5，0），顶点为（±4，0），

所以所求椭圆方程为

（Ⅱ）假设存在M（0，a），过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，

使以AB为直径的圆恒过点P，AB方程为y=kx+a，

代入方程，消去y，得

（9+25k2）x2+50akx+25a2﹣225=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=

=x1x2+y1y2﹣3（y1+y2）+9

=x1x2+（kx1+a）（kx2+a）﹣3k（x1+x2）﹣6a+9

=（k2+1）x1x2+k（a﹣3）（ x1+x2）+a2﹣6a+9

=（k2+1）+k（a﹣3）+a2﹣6a+9

由以AB为直径的圆恒过点P，可得，

得17a2﹣27a﹣72=0，

∴（17a+24）（a﹣3）=0

∴a=3，或a=

∵点P的坐标为（0，3），过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点

∴a=

故M点的坐标存在，M的坐标为（0，）