热门试卷

解：（1）设椭圆C的方程为 ，

则由题意知b=1．

∴ ．

∴a2=5

∴椭圆C的方程为  ．

（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．

又易知F点的坐标为（2，0）．

显然直线l存在的斜率，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．

∴ ．

又∵ ．∴ ．

解：（Ⅰ）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，

∴

∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），

∴

∴a2=2，

∴b2=1，

∴椭圆C的方程为+y2=1．

（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（﹣1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=﹣1，代入+y2=1得y=±，可知M（﹣1，），N（﹣1，）

∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O当直线l的斜率存在时，

设方程是y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）

由，可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0

∴x1+x2=，x1x2=，

因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以=0．

可得x1x2+y1y2=x1x2+k（x1+1）k（x2+1）=（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0．

∴（1+k2）×+k2×+k2=0．

∴k=±2

综上所述，过点B（﹣1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，方程为y=2x+2或y=﹣2x﹣2．

解：设P，

∵G为的重心，

∴G点坐标为 G，

∵，

∴，      

∴的纵坐标为，

在焦点中，

∴

又∵为的内心，

∴的纵坐标即为内切圆半径，

内心把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形

∴

∴2c=a，        

∴椭圆C的离心率e=

（2）设过椭圆焦点的直线的方程为

∴

 ，

得

设点M，N坐标为，

m2+1≥1

。

解：（Ⅰ） ∵e=2，

∴c2=4a2，

∵c2=a2+3，

∴a=1，c=2，

∴双曲线方程为，渐近线方程为y=±x；

（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），AB的中点M（x，y），

∵，

∴=10，

∴=10，

又∵y1=x1，y2=x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2，

∴y1+y2=（x1-x2），y1-y2=（x1+ x2），

∴=10，

∴3（2y）2+（2x）2=100，

∴，即为M的轨迹方程。　

解：（Ⅰ）∵∴∴

∵直线相切，

∴∴

∴  

∴椭圆C1的方程是    

（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是C为1准线，F2为焦点的抛物线 

∴点M的轨迹C2的方程为    

（3）显然PF2不与x轴垂直，设C (,c)，D (,d)，且c≠d，则 =．

若存在C、D关于PF2对称，则=-    

∵≠0，∴c+d≠0设线段CD的中点为,

则x0=(+)=,y0=，

将x0代入PF2方程求得：=-( -)=(-)

∵-=-≠1∴ ≠()=y0∴线段CD的中点不在直线上．

所以在曲线C2上不存在两个不同点C、D关于PF2对称

解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离

故c=2

所以椭圆C的焦距为4；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为

联立

得

解得

因为

所以

即

得a=3

而

所以

故椭圆C的方程为。

解：（1）由题意可得e==即c2=a2∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为与直线x﹣y+=0相切．

∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1=b

∵a2=b2+c2=1+

∴a=2，b=1

∴椭圆C的方程为

（2）由题意可得，所求的直线的斜率k一定存在，故可设直线方程为y=k（x﹣4）

联立方程

可得（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0

∴△=322k4﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）≥0

∴

解：（1）由，长轴长为6

得：

所以b=1

所以，椭圆方程为

（2）设，

由（1）可知椭圆方程为   ①，

又 直线AB的方程为y=x+2    ②

把②代入①得化简并整理得

10x2+36x+27=0

所以，

又