椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分．曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角，若|AF1|=，|AF2|=．

（I）求曲线C1和C2的方程；

（II）设点C是C2上一点，若|CF1|=|CF2|，求△CF1F2的面积．

正确答案

解：（I）设曲线C1的方程为，

则2a=|AF1|+|AF2|= 得a=3

设A（x，y），F1（﹣c，0），F2（c，0），

则（x+c）2+y2= ，（x﹣c）2+y2=

两式相减可得：xc=

由抛物线定义可知|AF2|=x+c= ∴c=1，x= 或x=1，c= （舍去）

所以曲线C1的方程为，C2的方程为y2=4x（0≤x≤ ）；

（II）过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作直线CC1⊥l于点C1，

依题意知l为抛物线C2的准线，则|CC1|=|CF2|

在直角△CC1F1中，|CF1|= |CC1|，∠C1CF1=45°

∵∠CF1F2=∠C1CF1=45°

在△CF1F2中，设|CF2|=r，则|CF1|= r，|F1F2|=2

由余弦定理可得22+2r2﹣2×2× rcos45°=r2， ∴r=2

∴S△CF1F2=

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题型：简答题

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简答题

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）椭圆E过M、N

∴

∴椭圆E：

（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，

由

∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0

当△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0

，

要使

∴x1x2+y1y2=0

∴

∴3m2﹣8k2﹣8=0

∴

又 8k2﹣m2+4＞0

∴

又y=kx+m与圆心在原点的圆相切

∴，即，

∴所求圆：当切线斜率不存在时，

切线为，与椭圆交于（，）或（，），

满足

综上：存在这样的圆满足条件

∵

当k≠0时，

∴（当时取等）

当k=0时，当k不存时，

∴

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的两焦点为，P为动点，若，

（Ⅰ）求动点P的轨迹E方程；

（Ⅱ）若，设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线与交于点S，试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知：，又∵，

∴动点必在以为焦点，长轴长为4的椭圆，

∴a=2，

又∵，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由题意，可设直线l为：

取m=0，得，直线的方程是

直线的方程是，交点为，

若，由对称性可知交点为，若点S在同一条直线上，

则直线只能为

②以下证明对于任意的m，直线与直线的交点S均在直线上．

事实上，由，得，即，记，

则．

设与交于点由，得，

设与交于点，由，得，

∵==，

∴，即与重合，

这说明，当m变化时，点S恒在定直线上。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12．圆Ck：x2+y2+2kx﹣4y﹣21=0（k∈R）的圆心为点Ak．

（1）求椭圆G的方程

（2）求△AkF1F2的面积

（3）问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，

则，解得，

∴b2=a2﹣c2=36﹣27=9

所以椭圆G的方程为：．

（2）由圆Ck的方程知，圆心AK的坐标为（﹣k，2），∴．

（3）若k≥0，由62+02+12k﹣0﹣21=15+12k＞0可知

点（6，0）在圆Ck外，

若k＜0，由（﹣6）2+02﹣12k﹣0﹣21=15﹣12k＞0可知

点（﹣6，0）在圆Ck外；

∴不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动点。

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接并延长交椭圆于点，证明：；

正确答案

解：（Ⅰ）由题设可知：

故

故椭圆的标准方程为：

（Ⅱ）设，由可得：

由直线OM与ON的斜率之积为可得：

，即

由①②可得：

M、N是椭圆上，故

故，即

由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;

（Ⅲ）设由题设可知

由题设可知斜率存在且满足

…………③

将③代入④可得：……⑤

点在椭圆，

故

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，

（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

（ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设C方程为，则．

由，得a=4

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（i）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0

由△＞0，解得﹣4＜t＜4

由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．

四边形APBQ的面积

∴当t=0，．

（ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k

则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）

由

（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0

同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），

可得

∴

所以AB的斜率为定值．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的极坐标方程为；

（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程．

（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

正确答案

解：（1）∵曲线C的极坐标方程为；

；

（2），

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的焦点为F1（-t，0），F2（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．

（1）求椭圆方程；

（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2=1200，求tan∠F1PF2的值；

（3）设A是椭圆的右顶点，在椭圆上是否存在点M（不同于点A），使∠F1MA=90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）设椭圆方程为+=1，则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2•2t，∴a=2t，b2=a2-c2=3t2，

所以所求椭圆方程为+=1．

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则

解方程组，得d1=t，d2=t．

由正弦定理，得=，∴sin∠F1PF2=，∴tan∠F1PF2=．

（3）若椭圆上存在一点M（x1，y1），使∠F1MA=90°，则|MF1|2+|MA|2=|AF1|2，即（x1+t）2+y12+（x1-2t）2+y12=（2t+t）2．

化简，得 x12+y12-tx1-2t2=0①

又 3t2x12+4t2y12=12t4②

由①、②，整理，得 x12-4tx1+4t2=0’，∴x1=2t，y1=0，

所以点M与右顶点A重合，矛盾．所以这样的M点是不存在的．

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题型：单选题

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单选题

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

[ ]

A4a

B2（a﹣c）

C2（a+c）

D以上答案均有可能

正确答案

D

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题型：单选题

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单选题

已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是

[ ]

A6x-5y-28=0

B6x+5y-28=0

C5x+6y-28=0

D5x-6y-28=0

正确答案

A

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