热门试卷

（1）由题意可得：a=，c=，b=1，∴r==2．

∴椭圆C的方程为+y2=1，其“准圆”的方程为x2+y2=4；

（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．

设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．

∴•=（x0-2，y0）•（x0-2，-y0）=(x0-2)2-y02，

∵点B在椭圆+y2=1上，∴+y02=1，∴y02=1-，

∴•=(x0-2)2-1+=(x0-)2，

∵-＜x0＜，∴0≤(x0-)2＜7+4，

∴0≤•＜7+4，即•的取值范围为[0，7+4)

（3）①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为(±，±1)，此时l1⊥l2；

②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x0，y0），直线l的方程为m（y-y0）=x-x0．

联立消去x得到关于y的一元二次方程：

(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0，

∴△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0，

化为(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0，

∵y02-1≠0，m存在，∴m1m2=．

∵点P在准圆上，∴x02+y02=4，∴x02-3=1-y02，

∴m1m2═-1．

即直线l1，l2的斜率kl1•kl2=-1，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l1⊥l2．

综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，l1⊥l2．

解（I）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1==6，

∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2==，

∴所求的椭圆方程为+=1

（II）由已知A（-6，0），F（4，0），

设点P的坐标为（x，y），则=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知得

则2x2+9x-18=0，解之得x=或x=-6，

由于y＞0，所以只能取x=，于是y=，所以点P的坐标为(，)（9分）

（Ⅲ）直线AP：x-y+6=0，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是=|m-6|，

又∵点M在椭圆的长轴上，即-6≤m≤6∴m=2

∴当m=2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-=(x-)2+15

又-6≤x≤6∴当x=时，d取最小值

（1）∵是标准方程，∴其焦点应该在坐标轴上，

∴令x=0，代入射线x-y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）

当焦点为（0，1）时，可知P=2，∴其方程为x2=4y．

（2）设A(x1，)，B(x2，

x2

4

2)

过抛物线A，B两点的切线方程分别是y=x-x12，y=x-

x2

4

2

其交点坐标M(，)

设AB的直线方程y=kx+1代入x2=4y，得x2-4kx-4=0

∴x1x2=-4，M(，-1)，所以点M的轨迹为y=-1

∵=(x1，-1)，=(x2，-1)

∴•=x1x2+(-1)(-1)=-(+)-2

而=(-0)2+(-1-1)2=(+)+2

∴=-1．

（1）设M（x，y），由题设可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）

∴=(x，y)，=(x-2，y)，=(x，y-1)，=(x-2，y-1)，d=|y-1|，

因•=k(•-d2)

∴（x，y）•（x-2，y）=

k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|2]

即（1-k）（x2-2x）+y2=0为所求轨迹方程．

当k=1时，y=0，动点M的轨迹是一条直线；

当k=0时，x2-2x+y2=0，动点M的轨迹是圆；

当k≠1时，方程可化为(x-1)2+=1，当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线；

当0＜k＜1或k＜0时，动点M的轨迹是椭圆．

（2）当k=时，M的轨迹方程为(x-1)2+=1，．得：0≤x≤2，y2=-(x-1)2．

∵|+2|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2

=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[-(x-1)2]

=(x-)2+．

∴当x=时，|+2|2取最小值

当x=0时，|+2|2取最大值16．

因此，|+2|的最小值是，最大值是4．

（3）由于≤e≤，即e＜1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为(x-1)2+=1，

①当0＜k＜1时，a2=1，b2=1-k，c2=1-（1-k）=k，e2==k，∵≤e≤，∴≤k≤；

②当k＜0时，a2=1-k，b2=1，c2=（1-k）-1=-k，e2===，∵≤e≤，∴≤≤，而k＜0得，-1≤k≤-．

综上，k的取值范围是[-1，-]∪[，]．

（1）由题意设椭圆标准方程为+=1．

由已知得，b=，e==．（2分）

则e2===1-，∴1-=．解得a2=6（4分）

∴所求椭圆方程为+=1（5分）

（2）令M（x1，y1），则S△MF1F2=|F1F2|•|y1|=•2•|y1|（7分）

∵点M在椭圆上，∴-≤y1≤，故|y1|的最大值为（8分）

∴当y1=±时，S△MF1F2的最大值为．（9分）

（3）假设存在一点P，使•=0，

∵≠，≠，∴⊥，（10分）

∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）

又∵|PF1|+|PF2|=2a=2 ②（12分）

∴②2-①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴|PF1|•|PF2|=5，（13分）

即S△PF1F2=5，由（1）得S△PF1F2最大值为，故矛盾，

∴不存在一点P，使•=0．（14分）

（I）∵|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，∴a=2，

设椭圆方程为+=1，

把（1，1）代入，得+=1，

∴b2=，

∴c2=4-=，

∴两焦点的坐标F1(-，0)，F2(，0)．

（II）设AC：y=k（x-1）+1，

联立，

得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0，

∵A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为xA=1，

∴xC=，

∵AC与AD的倾斜角互补，

∴AD为：y=-k（x-1）+1，

同理，xD=，

∵yC=k（xC-1）+1，

yD=-k（xD-1）+1，

yC-yD=k（xC+xD）-2k，

∴kCD==．

故CD的斜率为定值．