热门试卷

（1）设⊙M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则由题设，得

解得

⊙M的方程为x2+y2-cx-c2=0，

⊙M的标准方程为(x-c)2+y2=c2；（5分）

（2）⊙M与x轴的两个交点A(c，0)，C(-c，0)，

又B（b，0），D（-b，0），

由题设即

所以解得＜＜，

即＜e＜．所以椭圆离心率的取值范围为(，)；（10分）

（3）由（1），得M(c，0)．

由题设，得c-b=b-c=c．

∴b=c，D(-c，0)．

∴直线MF1的方程为-=1，

①直线DF2的方程为-+=1．

②由①②，得直线MF1与直线DF2的交点Q(c，3c)，

易知kOQ=为定值，

∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线y=x上．（15分）

（1）由题意，得，解之得a=2，b=，c=1

故椭圆C的方程为+=1，离心率e=；

（2）∵△AF1F2是正三角形，可得直线AF1的斜率为k=tan=

∴直线AF1的方程为y=（x+1）

设点O关于直线AF1的对称点为M（m，n），则，

解之得m=-，n=，可得M坐标为（-，），

∵|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|＞|MF2|

∴|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|==

直线MF2的方程为y=（x-1），即y=-（x-1）

由解得，所以此时点P的坐标为（-，）．

综上所述，可得求|PF2|+|PO|的最小值为，此时点P的坐标为（-，）．

（Ⅰ）由题意得，e2===1-=，

又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，（3分）

∵==2，

∴“伴随圆”的方程为x2+y2=4．（4分）

（Ⅱ）①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．

②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．

设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=(k2+1)，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0．

∴x1+x2=，x1x2=．（6分）

当k≠0时，|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2

=(1+k2)[()2-]

=（1+k2）[-]

=

=3+

=3+

≤3+=4．

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．

当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，

此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．（10分）

（Ⅰ）设点（x0，y0）是轨迹C1上的动点，∴（2分）

∴x0y0=y2，=x2．

∵点（x，y）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）的第一象限上运动，则x0＞0，y0＞0．

∴+=1．

故所求的轨迹C1方程是+=1（x＞0，y＞0）．（6分）

（Ⅱ）由轨迹C1方程是+=1（x＞0，y＞0），得y=（x＞0）．

∴f(x)==≤=．

所以，当且仅当=a2x，即x=时，f（x）有最大值．（10分）

如果在开区间(0，)内y=f（x）有最大值，只有＜．（12分）

此时，＜⇒＜，解得＜e＜1．

∴椭圆C的离心率的取值范围是(， 1)．（14分）

（1）设椭圆E的方程为 +=1（a＞b＞0）．

∵c=1，

∴a2-b2=1①，

∵点（1，）在椭圆E上，

∴+=1②，

由①、②得：a2=4，b2=3，

∴椭圆E的方程为：+=1．

（2）由题意知，a=2，b=、∴c=1

又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=4、①

由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=4②

把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，③

③-②得（2+）|PF1|•|PF2|=12，

∴|PF1|•|PF2|=12（2-），

∴S△PF1F2=|PF1|•|PF2|sin30°=6-3、