热门试卷

（1）=sin60°=． （4分）

（2）设a2=4t，b2=3t （t＞0）．

则椭圆方程为+=1．y=x+2代入，得x2+2x+（4-3t）=0

|PQ|=|x1-x2|==3

∴t=4．

椭圆方程为+=1． （15分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0（2分）

∵y1=1-x1，y2=1-x2

∴2x1x2-（x1+x2）+1=0①又将y=1-x代入+=1可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0

∵△＞0∴x1+x2=，x1x2=（4分）

代入①化简得 +=2．（6分）

（2）∵e2==1- 

∴≤1-≤

∴≤≤（8分）

又由（1）知b2=   （9分）

∴≤≤∴≤a≤，（11分）

∴长轴 2a∈[，]．（12分）

（Ⅰ）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），则a-c=1，a+c=5

∴a=3，c=2

∴b==

∵P到其左、右两个焦点F1，F2的距离分别为5和1，且在x轴上方，直线PF2的斜率为-．

∴，∴

∵P到其左、右两个焦点F1，F2的距离分别为5和1，∴2a=6，∴a=3

∴b2=a2-c2=

∴椭圆E的方程为+=1；

（Ⅱ）△F1PF2的面积=×2c×y=×=．

（1）由题意，c=，则a2=b2+2．           …（2分）

可设椭圆方程为+=1．

∵椭圆过点（，1），∴+=1，解得b2=2． …（4分）

（或由椭圆定义，得2a=+1=4，则a=2，同样得2分）

∴椭圆方程为+=1．                      …（6分）

（2）设P（x0，y0），则+2=4．

∴PM2=(x0-0)2+(y0-m)2=2m2+4-(y0+m)2．  …（9分）

由+2=4，得y0∈[-，]．               …（11分）

∴当m∈(0，]时，在y0=-m时，得PM的最大值为； …（13分）

当m∈(，+∞)时，在y0=-时，得PM的最大值为m+．  …（15分）

即PMmax=…（16分）

（1）在△MF1F2中，MF12+MF22-2MF1•MF2cos∠F1MF2=4c2

即：（MF1+MF2）2-3MF1•MF2=4c2

即：4a2-3MF1•MF2=4c2，则3MF1•MF2=4a2-4c2MF1•MF2≤()2=a2，当且仅当MF1=MF2=a时，取等号

∴4a2-4c2≤3a2，即a2≤4c2

∴e2≥即e∈[，1)（5分）

（2）令OP=m，则m∈[b，a]（10分）

又PF1+PF2=2a

在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF12与PF22两式相加可得：PF12+PF22=2m2+2c2

则（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2）

∴t==2

∵m∈[b，a]，∴≤≤

即0≤1-≤，

∴t的取值范围是0≤t≤．     （16分）

椭圆方程为+=1，可知椭圆的焦距为8

①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

∴解得

∴双曲线的标准方程为-=1（6分）

②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

∴解得

∴双曲线的标准方程为-=1

由①②可知，双曲线的标准方程为-=1或-=1（12分）

（1）直线y=x+2与x的交点的坐标为（-2，0），则F1的坐标为（-2，0）．…（2分）

设焦距为2c，则c=2．∵e==∴a=4，b2=a2-c2=12．…（5分）

则椭圆的方程为+=1．…（6分）

（2）当P在椭圆的右顶点时，∠F1PF2=0（7分）

当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF1+PF2≥2

∴≥当且仅当PF1=PF2时等号成立

△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2==（9分）

==-1≥-1=，…（13分）

则0＜∠F1PF2≤；

由上述可得∠F1PF2的取值范围为[0，]．…（14分）

∵满足•=0的点M总在椭圆内部，∴c＜b．

∴c2＜b2=a2-c2，化为＜，∴e2＜，

解得0＜e＜．

故答案为（0，）．

双曲线类似的性质为：

若A，B是双曲线-=1(a＞0，b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值．

证明：设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

且-=1①，-=1②，

两式相减得：b2(-)-a2(-)=0，

∴kPA•kPB=•==

即kPA•kPB=，是与点P位置无关的定值．