热门试卷

（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，A(-，)，B(-，-)，此时OA与OB不垂直．（2分）

当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x+)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线与椭圆的方程，整理得(4k2+1)x2+8k2x+12k2-4=0（4分）x1+x2=，x1x2=

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0x1x2+k2(x1+)(x2+)=x1x2+k2x1x2+k2(x1+x2)+3k2=0k2•+(1+k2)•+3k2=0

解得k2=（6分）

∴|AB|=|x1-x2|=（8分）

（Ⅱ）设M（m，0）为x轴上一点

（12分）

若•为定值，则有=，解得m=-

所以存在点M(-， 0)使得•为定值．（14分）

∵椭圆9x2+4y2=36的标准方程为+ =1

∴其焦点坐标为（0，±）

∵所求椭圆与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，

∴设所求椭圆方程为+=1

∵椭圆经过点（2，-3）

∴+=1

∴b=10

∴和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点（2，-3）的椭圆的方程为+=1

由题意可知：a-c-R=m，a+c-R=n，

则a-c=m+R，a+c=n+R，

故2b=2a=2

=2．

故答案为2

（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b==1．

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为+y2=1．

（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），

由，得

∵点P在椭圆上，得+(2y)2=1，

∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-)2+4y2=1．

（Ⅰ）⇔，

∴所求椭圆E的方程为：+y2=1（5分）

（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1，

把（2）代入（1）整理得：（k2+2）y2+2ky-1=0（3）

∴，（8分）

假设存在定点M（m，0），使得•为定值•=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2

=（ky1+1-m）（ky2+1-m）+y1y2=（k2+1）y1y2+k（1-m）（y1+y2）+（1-m）2=--+(1-m)2=+(1-m)2=+(1-m)2

当且仅当5-4m=0，即m=时，•=-（为定值）．这时M(，0)（12分）

再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取P(-，0)，Q(，0)=(--，0)，=(-，0)•=(--)•(-)=-

∴存在定点M(，0)使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有•=-（恒为定值）．

（1）依题意可知c=m，=

∴a=2c=2m，∴b==m，

∴椭圆的方程为：+=1

（2）把M代入椭圆方程得：+=1

求得m=

∴椭圆方程为+=1

∴焦点坐标为（-，0）

把点P代入求得y0=±

∴点P的坐标为（2，±）

∴P点焦点F的距离为：=

（1）由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，

∵直线x-y+2=0与圆相切，

∴d==b，即b=，

又e==，即a=c，

∵a2=b2+c2，

∴a=，c=1，

∴椭圆方程为+=1；

（2）证明：设P（x0，y0）（y0≠0），A（-，0），B（，0），

∴k1=，k2=

∵+=1，∴y02=2-，

∴k1•k2===-；

（3）设M（x，y），其中x∈[-，]．

由已知=2及点P在椭圆C上可得=4

整理得+=1，其中x∈[-，]．

（1）由得

∴+y2=1---------------------------------------------------------------------------（2分）

∴a2=4，b2=1

∴c2=a2-b2=3

∴焦点坐标为(  ， 0 )，( - ， 0 )-------------------------------------（4分）

离心率e==------------------------------------------------------------------（6分）

（2）设点P的坐标为P（x，y），则+y2=1，即：x2=4-4y2------------------------------------------------（8分）

∴|PM|===------------------------------------------------（12分）

∵y∈[-1，1]

∴当y=-时，|PM|≥=

∴|PM|的最大值是----------------------------------------------------（14分）

（1）∵|F1F2|=2c．

设|PF1|=t1，|PF2|=t2，

则根据椭圆的定义可得：t1+t2=2a①，

在△F1PF2中∠F1PF2=60°，

所以根据余弦定理可得：t12+t22-2t1t2•cos60°=4c2②，

由①2-②得t1•t2=（4a2-4c2），

所以：S△F1PF2=t1t2•sin60°=×(a2-c2)×=(a2-c2)．

所以△F1PF2的面积(a2-c2)．

（2）由对称性不防设Q在x轴上方，坐标为（x0，y0），

则tanA1QA2==-，即 =-

整理得 =-，①

∵Q在椭圆上，

∴=a2(1-)，代入①得y0=，

∵0＜y0≤b

∴0＜≤b，化简整理得3e4+4e2-4≥0，

解得 ≤e＜1．