椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

求椭圆 x2+49y2=49的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标及顶点坐标．

正确答案

∵椭圆 x2+49y2=49即+y2=1

∴a=7，b=1

由 c2=a2-b2，得c=4

长轴长：2a=14

短轴长：2b=2

焦距：2c=8

离心率：e==

焦点坐标：F1（-4，0），F2（4，0）

顶点坐标：（7，0），（-7，0），（0，1），（0，-1

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题型：简答题

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简答题

设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

正确答案

因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数，

所以（-2p）2-4q＜0，q＞p2＞0

由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，

所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，

可知原点为椭圆短轴的一端点

根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，

可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，

焦距离=2c=|z1-z2|==2，

长轴长=2a=2=2.

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题型：简答题

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简答题

（1）若椭圆+=1（a＞b＞0），过点（3，-2），离心率为，求椭圆的标准方程；

（2）双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（-5，0），（5，0），求该双曲线的标准方程．

正确答案

（1）由题意，，解得a2=15，b2=10，

∴椭圆的标准方程为+=1；

（2）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），则c=5

∵，解得a2=16，b2=9，

∴双曲线的标准方程为-=1．

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题型：简答题

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简答题

已知点P是椭圆+=1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积．

正确答案

由题a=，b=2，∴c==1又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=2由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos30°=|F1F2|2=（2c）2=4由上述两式可得：|PF1|•|PF2|=16(2-)∴S△PF1F2=|PF1|•|PF2|•sin300=8-4．

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题型：简答题

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简答题

过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．

（1）求k的值；

（2）设C（-2，0），求tan∠ACB．

正确答案

（1）由椭圆方程，a=，b=1，c=1，则点F为（-1，0）．

直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得

（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0．①

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则

x0==-，y0=k（x0+1）=，

由点M在直线x+2y=0上，知-2k2+2k=0，

∵k≠0，

∴k=1．…（6分）

（2）将k=1代入①式，得3x2+4x=0，

不妨设x1＞x2，则x1=0，x2=-，…（8分）

记α=∠ACF，β=∠BCF，则

tanα===，tanβ=-=-=，

∴α=β，

∴tan∠ACB=tan2α==．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C1：+=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．

（I）求椭圆C2的方程；

（II）设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求直线l的方程．

正确答案

（I）设椭圆C2的方程为+=1（a＞b＞0）

∵椭圆C1：+=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率

∴a=2，e=

∴c=

∴b==1

∴椭圆C2的方程为+y2=1；

（II）点A的坐标是（-2，0）．

设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．

与椭圆C2的方程联立，整理得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0

∴-2x1=，得x1=，从而y1=

设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（-，）

①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，

∴=（-2，-y0），=（2，-y0）．

由•=4得y0=±2，∴l的方程为y=0；

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x+)

令x=0，解得y0=-

∴=（-2，-y0），=（x1，y1-y0）．

∴•=（-2，-y0）•（x1，y1-y0）=-2•+（+）=4

∴7k2=2

∴k=±，

∴l的方程为y=±(x+2)．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆+=1上的两点A、B与右焦点F2满足|AF2|+|BF2|=a，又线段AB中点到左准线的距离为，求此椭圆方程．

正确答案

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵e=，

由焦半径公式有a-ex1+a-ex2=a，∴x1+x2=a，即AB中点横坐标为a

又左准线方程为x=-a，∴a+a=，即a=1，

∴椭圆方程为x2+y2=1

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A在y轴的正半轴上．

（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F2，试求直线BC的方程；

（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．

正确答案

（Ⅰ）设B（x1，y1），C（x2，y2）．

整理椭圆方程得 +=1，∴短轴b=4，a=2

∴c==2，

则A（0，4 ），F1（2，0）

∴=2，x1+x2=6

同理y1+y2=-4

又+=1，+=1，

两式相减可得4（x1+x2）+5（y1+y2）×k=0，

∴k=（k为BC斜率）

令BC直线为：y=x+b，则y1+y2=（x1+x2）+2b

∴b=-

∴BC直线方程为：y=x-

即5y-6x+28=0．…（7分）

（Ⅱ）由AB⊥AC，得•=x1x2+y1y2-4（y1+y2）+16=0 （1）

设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80，得（4+5k2）x2+10bkx+5b2-80=0

∴x1+x2=，x1x2=

∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=，y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=

代入（1）式得，=0，

解得b=4（舍）或b=-

故直线BC过定点（0，-）．

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题型：简答题

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简答题

设M是椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2为焦点，如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率．

正确答案

∵△MF1F2中，∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，

∴∠F1MF2=90°，即△MF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形．

∵M是椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，

∴|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c

∵Rt△MF1F2中，sin∠MF1F2==，sin∠MF2F1==

∴+=，即=

因此椭圆的离心率e===

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xoy中，动点P在椭圆C1：+y2=1上，动点Q是动圆C2：x2+y2=r2（1＜r＜2）上一点．

（1）求证：动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；

（2）设椭圆C1上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F（1，0）的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为？请说明理由．

（3）若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．

正确答案

（1）证明：设动点P（x0，y0），则+y02=1，

右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为：

===，

而a=，c=1，所以离心率e=，

故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；

（2）由（1）可得|AF|=(2-x1)，|BF|=(2-1)，|CF|=(2-x2)，

因为2|BF|=|AF|+|CF|，

所以(2-x1)+(2-x2)=2×(2-1)，即得x1+x2=2，

因为A，C在椭圆上，故有+y12=1，+y22=1，两式相减整理得：

kAC==-=-，

设线段AC的中点（m，n），而m==1，n=，

所以与直线AC垂直的直线斜率为k′AC=y2+y1=2n，

则AC垂直平分线方程为y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）经过定点（，0）；

（3）依题意知，直线PQ的斜率显然存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于直线方程PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有

由得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，

故△=（4km）2-4×2（m2-1）（2k2+1）=0，从而可得m2=1+2k2，x1=-①，

直线PQ与圆C2相切，则=r，得m2=r2（1+k2）②，

由①②得k2=，且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r2=x12+（1-）-r2

=1+-r2=1+-r2=3-r2-≤3-2=(-1)2，即|PQ|≤-1，

当且仅当r2=∈(1，4)时取等号，

故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为-1．

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