热门试卷

（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c=2，故c=2．

所以椭圆C的焦距为4．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y=(x-2)．

联立得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0．

解得y1=，y2=．

因为=2，所以-y1=2y2．

即=2•．

得a=3．而a2-b2=4，所以b=．

故椭圆C的方程为+=1．

（1）由题意知：P(0，)，设F1（-c，0）

因为F1PF2Q为正方形，所以c=

即b=3c，∴b2=9c2，即a2=10c2，

所以离心率e=

（2）因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为2，

所以切线方程为y-3c=2x，即y=2x+3c，

因为在轴上的截距为-，所以c=1，

所求椭圆方程为：+=1

（I）∵椭圆C：+=1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，

∴2c=2b，∴b=c

∴a==c

∴e==；

（II）设弦AB中点坐标（m，n），则，

∴m=-，n=，

又2=，∴c=1，b=1，a2=2

∴椭圆方程为+y2=1．

由已知可得椭圆的标准方程为 +=1，…（4分）

长轴长2a=6．…（5分）

短轴长 2b=4．…（6分）

离心率e==．…（7分）

焦点为 (，0)，(-，0)．…（9分）．

（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F1（1，0），F2（-1，0）的距离之和为定值2，

所以点P的轨迹是以F1（1，0），F2（-1，0）为焦点的椭圆．…（2分）

又a=，c=1，所以b=1，

故所求方程为+y2=1．…（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．

由++=，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．…（5分）

（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），

代入x2+2y2=2并整理得，（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0，

依题意，△＞0，则 x1+x2=-，y1+y2=k(x1+x2)+2n=，

从而可得点C的坐标为(，-)，kOC=-．

因为kAB•kOC=-，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）

（ⅱ）若AB⊥x轴时，A(-1，)，B(-1，-)，由++=，

得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．

因此直线AB的斜率存在．…（9分）

由（ⅰ）可知，当直线AB过点F1时，有n=k，点C的坐标为(，-)．

代入x2+2y2=2得，+=2，即4k2=1+2k2，

所以k=±．                   …（11分）

（1）当k=时，由（ⅰ）知，k•kOC=-，从而kOC=-．

故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高h=×=，所求等腰三角形的面积S=×1×=．

（2）当k=-时，又由（ⅰ）知，k•kOC=-，从而kOC=，

同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．

综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．…（13分）

（Ⅰ）由题意：2a=4，所以a=2，

∵橢圆：+=1过点（，），

∴+=1

∴b2=1

∴所求椭圆方程为+y2=1；

（II）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+y12=1，+y22=1

∵=+，

∴M（x1+x2，y1+y2）

∴+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1

∴+y1y2=0

∵点N为线段AB的中点

∴N（，）

∴+2()2=(+y12)+(+y22)++y1y2=1

∴线段AB的中点N在椭圆+2y2=1上

∵椭圆+2y2=1的两焦点为C（-，0），D（，0），

∴|NC|+|ND|=2．

（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，离心率e==，

△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|AF1|+|AF2|=4a=8，

解得a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，

所以椭圆的方程为+=1．

（Ⅱ）直线l1的方程为y=kx+3（k＞0），

由，消去y并整理得（3+4k2）x2+24kx+24=0（*），

△=（24k）2-4×24×（3+4k2）＞0，解得k＞，

设椭圆的弦GH的中点为N（x0，y0），

则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l1”．

设G（x1，y1），H（x2，y2），由韦达定理得，x1+x2=-，

所以x0==-，∴y0=kx0+3═，

∴N(-，)，kPN=-，

所以，-•k=-1，解得m=-(k＞)．

m′(k)=＞＞0，

所以，函数m=-(k＞)在定义域(，+∞)单调递增，m()=-，

所以满足条件的点P（m，0）存在，m的取值范围为(-，+∞)．

（1）证明：

消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0

△=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

由•=0，x1x2+y1y2=0，

即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0

化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0，

则-+1=0

即a2+b2=2a2b2，故+=2

（Ⅱ）由e=，b2=a2-c2，a2+b2=2a2b2

化简得a2==+

由e∈[，]得a2∈[，]，

即a∈[，]

故椭圆的长轴长的取值范围是[，]．

（1）∵椭圆+=1

∴a2=16，b2=12

∴c2=a2-b2=4

∴c=2，a=4，b=2

∴椭圆+=1的左焦点和右焦点分别为（±2，0）

设|MF1|=m，|MF2|=n，则

∴m=n=4

∴M为椭圆的上顶点（或下顶点）

∴△F1MF2的面积为×4×2=4；

（2）∵M为椭圆的上顶点（或下顶点），b=2

∴M点的坐标为(0，±2)