热门试卷

（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），

得：•=m，化简得：-mx2+y2=1（x≠0）．

当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；

当m=-1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；

当-1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；

当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，-1）两点．

（2）当m=-时，曲线E的方程为+y2=1(x≠0)．

由题意可知直线l的斜率存在切不等于0，则可设l：y=k（x-1），

再设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，-y2）（x1≠x2）．

联立，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．

∴x1+x2=，x1x2=，

∵M，Q不重合，则x1≠x2，y1≠-y2．

∴MQ所在直线方程为y-y1=(x-x1)，

令y=0，得x=x1+=x1+=

==2．

∴直线MQ过定点（2，0）．

椭圆+=1的焦点是F1(-，0)、F2(，0)，…（2分）

于是，=(--xp，-yp)，=(-xp，-yp)．

又∠F1PF2是钝角，

故•＜0，即(--xp)(-xp)+＜0．    …（7分）

由点P在椭圆上，解得=4-．

所以，-5+4-＜0，解得-＜xp＜．（又-3≤xp≤3）…（9分）

因此点P的横坐标的取值范围是(-，)．            …（10分）

（1）由题意可得：e=

所以 |PA|+|PF|=|PA|+|PF|，

∴根据椭圆的第二定义：过A作右准线的垂线，交与B点，则|PA|+|PF2|的最小值为|AB|，

∵|AB|=

∴，|PA|+|PF|的最小值，并且P（，1）．

（2）根据椭圆的第一定义：|PA|+|PF1|=2a+|PA|-|PF2|

如图所示：因为||PA|-|PF2||≤|AF2|=1⇒-1≤|PA|-|PF2|≤1，

所以5＜6+|PA|-|PF2|＜7，即5＜|PA|+|PF1|＜7，

所以PA|+|PF|的最大值与最小值分别为5，7．

（3）由题意可得：直线方程为x-y-2=0，

联立直线与椭圆的方程可得：32x2-108x+63=0，

所以x1+x2=，x1•x2=，

由弦长公式可得：|MN|==．

（4）由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-1=k（x-2），

代入椭圆的方程化简得：（5+9k2）x2+18k（1-2k）x+9（1-2k）2-45=0，

因为A为弦的中点，

所以x1+x2=4，即=4，解得k=-，

所以以A为中点的弦所在的直线方程为10x+9y-29=0．

（Ⅰ）由题意：2a=4，所以a=2，所求椭圆方程为+=1；

又点(1，)在椭圆上，∴+=1，∴b2=1；

故所求椭圆方程为：+y2=1．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（2，0），设P（4，t），M（xM，yM），

则直线PA的方程为：y=(x+2)，（t≠0）；

由得 （9+t2）x2+4t2x+4t2-36=0；

因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以-2+xM=，所以xM=；

由yM=(xM+2)，得yM=，所以M(，)；

从而=(-，)，=(2，t)；所以•=-+=-＜0．

又M，B，P三点不共线，所以∠MBP为钝角；所以△MBP为钝角三角形．

（1）椭圆G：+y2=1中，a=2，b=1，∴c==

∴椭圆G的焦点坐标为（±，0），离心率e==；

（2）由题意知，|m|≥1

当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=；

当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∵l与圆x2+y2=1相切，∴=1，即m2k2=k2+1

∴|AB|=×==≤2（当且仅当m=±时取等号）

∴|AB|的最大值为2，

∴S△OAB的最大值为×2×1=1

（Ⅰ）∵离心率e=，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，

∴b==，=，

∴a=，

∴椭圆方程+=1

（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A1(-，0)，A2(，0)

设M点坐标（xo，yo）

则+=1⇒yo2=(3-xo2)，

kMA1=，kMA2=，

∴kMA1•kMA2===-

∴kMA1•kMA2是定值

（Ⅲ）kMA1•kMA2=-．

（1）∵点Q（-，1）在椭圆上，∴+=1．

∵线段QF2与y轴的交点M满足+=，

∴M为线段QF2的中点，

∴-+c=0，

 联立，解得．

∴椭圆C的方程为+=1．

（2）设|PF1|=m，|PF2|=n．

利用椭圆的定义和余弦定理可得，

解得mn=．

∴S△=mnsin=××=．