椭圆_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2为曲线C1：+=1的焦点，P是曲线C2：-y2=1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为______．

正确答案

由曲线C1：+=1的方程可得 F1 （-2，0）、F2 （2，0），再由椭圆的定义可得

PF1+PF2=2．又因曲线C2：-y2=1 的焦点和曲线C1 的焦点相同，再由双曲线的定义可得

PF1-PF2=2．∴PF1=+ ，PF2=-．

△PF1F2 中，由余弦定理可得 16=(

6

+

3

)2+ (

6

-

3

)2-2（+）（-）cos∠F1PF2 ，

解得 cos∠F1PF2=，∴sin∠F1PF2=，

△PF1F2的面积为 •PF1•PF2•sin∠F1PF2=（+ ）（-）sin∠F1PF2=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C1：+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r＞0)，直线l：y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．

（I）求r的取值范围；

（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C2的方程．

正确答案

（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．

由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=0，

从而m2=1+4k2 ①

由，得（1+k2）x2+2kmx+m2-r2=0．

由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k2m2-4（1+k2）（m2-r2）=0，

从而m2=r2（1+k2） ②

由①、②得k2=．

由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知

x1=-=-，x2=-=-．

|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）•=•k2•（4-r2）2

=••（4-r2）2=，

所以|AB|2=5-（r2+）（1≤r＜2）．

因为r2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，

所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2．

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题型：填空题

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填空题

椭圆+=1上的点到直线2x-y+3=0距离的最大值是 ______．

正确答案

椭圆+=1的参数方程为，θ为参数，

设椭圆上的动点P（3cosθ，2sinθ），则点P到直线2x-y+3=0距离

d=，

∴dmax===．

故答案：．

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题型：填空题

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填空题

已知点P为椭圆+=1上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是______．

正确答案

设p（x，y），

∵椭圆+=1，∴c=5，两焦点F1=（-5，0），F2=（5，0），

∵P与两焦点连线互相垂直，

∴kPF1•kPF2=•=-1．

∴x2+y2=25，

又∵P为椭圆+=1上且位于在第三象限内一点，

∴解出x=-3，y=-4，∴p（-3，-4）

又∵P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，

∴根据点到直线距离的公式有：

≤3

整理实数m的取值范围是，得|2m-1|≤15，

解得-7≤m≤8，

∴实数m的取值范围是[-7，8]．

故答案为：[-7，8]．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF1上一点，若•=0，•=0，||=λ||，λ∈[，]（其中O为坐标原点）．求椭圆C离心率e的最大值．

正确答案

由题意知PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，则有△F1OH与△F1PF2相似，

所以==λ，设F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，P（c，y1），

则有+=1，解得y1=，

所以|PF2|=y1=．

根据椭圆的定义得：|F1P|=2a-|PF 2|=2a-，

∴λ=，

即=，

所以e2==1-=-1，

∵e2=-1在[，]上是单调减函数，

∴当λ=时，e2取最大值，

所以椭圆C离心率e的最大值是．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E的方程为2x2+y2=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点．

（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；

（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值．

正确答案

（1）将椭圆E的方程化为标准方程：x2+=1，（1分）

于是a=，b=1，c==1，

因此，椭圆E的长轴长为2a=2，短轴长为2b=2，离心率e==，两个焦点坐标分别是F1（0，-1）、F2（0，1），四个顶点的坐标分别是A1(0，-)，A2(0，)，A3（-1，0）和A4（1，0）．（6分）

（2）依题意，不妨设直线l过F2（0，1）与椭圆E的交点A（x1，y1），B（x2，y2），

则S△ABO=|OF|•|x1-x2|=．（8分）

根据题意，直线l的方程可设为y=kx+1，

将y=kx+1代入2x2+y2=2，得（k2+2）x2+2kx-1=0．

由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=-，（10分）

所以S△ABO===≤（当且仅当=，即k=0时等号成立）．（13分）

故△ABO的面积的最大值为．（14分）

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题型：填空题

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填空题

已知A（4，0），B（2，2），M为椭圆+=1上的点，则|MA|+|MB|的最小值为______．

正确答案

椭圆+=1中a=5，b=3，所以c=4，所以A为椭圆的焦点

设M到右准线的距离为d，则由椭圆的第二定义可得，=

∴d=|MA|

∴|MA|+|MB|=d+|MB|

∴MB垂直于准线时，|MA|+|MB|取得最小值

∵右准线方程为x==

∴|MA|+|MB|的最小值为-2=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为______．

正确答案

设椭圆的方程为 +=1 （a＞b＞0），

设点P（c，h），则 +=1，

h2=b2-=，∴|h|=，

由题意得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=45°，

Rt△PF1F2 中，tan45°=1=====，

∴a2-c2=2ac，(

c

a

)2+2•-1=0，∴=-1，

故答案为：-1．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．

正确答案

椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1（-4，0）、F2（4，0），

设P（x1，y1），由已知PF1⊥PF2，所以 •=0，

即（-4-x1，-y1）•（4-x1，-y1）=0，

∴x12+y12=16，

又因为 +=1，

解得 y1=±，所以，△PF1F2的面积S=×2c•|y1|=9．

故答案为：9．

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题型：填空题

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填空题

已知F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若∠PF1F2：∠PF2F1：∠F1PF2=1：2：3，则此椭圆的离心率为______．

正确答案

依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，

∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c

由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=（ +1）c

∴e==-1

故答案为：-1．

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