热门试卷

（Ⅰ）由题意可知：c=1，=，所以a=2，所以b2=a2-c2=3．

所以椭圆C的标准方程为+=1，左顶点P的坐标是（-2，0）．…（4分）

（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．

由可得：（3m2+4）y2+6my-9=0．

所以△=36m2+36（3m2+4）＞0，y1+y2=-，y1y2=-．…（7分）

所以△PAB的面积S=|PF1||y2-y1|=．…（10分）

因为△PAB的面积为，所以=．

令t=，则=(t≥1)，解得t1=（舍），t2=2．

所以m=±．

所以直线AB的方程为x+y-1=0或x-y-1=0．…（13分）

（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，

∴==，∴b2= a2  ①．

再由椭圆经过点D（1，），可得 +=1，即 +=1 ②．

由①②解得 a2=4，b2=3，故椭圆C的方程+=1．

（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ，sinθ）．

∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，故可设p（4，y1），Q（4，y2）．

由题意可得 A、M、P三点共线，可得 KAM=KAP，∴=，∴y1=3．

 再由M、B、P 三点共线，可得 KBM=KBQ，∴=，∴y2=．

∴=（6，3 ），=（2，）．

∴•=（6，3 ）•（2，）=12+3•=12+9 =12-9=3，

即 •=3．

（3）由（2）|yp|•|yq|=9，∴|PQ|=|yp-yq |=|yp|+|yq|≥2|=6，当且仅当|yp|=|yq|时等号成立，

故|PQ|的最小值为6．

（I）设F1（-c，0），F2（c，0），则由已知得=2c，

解得c=1．

∵=，∴a=，∴b2=1，

∴椭圆C的方程为+y2=1．

（II）由已知直线AB：y=kx-，代入+y2=1，得x2+2(kx-

1

3

)2 =2，

整理，得（18k2+9）x2-12kx-16=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=-，

∵y1=kx1-，y2=kx2-，

∴•=(x1y1 -1)(x2y2-1)

=（1+k2）-k+=0，∴⊥．∴以AB为直径的圆恒过定点D（0，1）．

（1）椭圆（φ为参数）的普通方程为 +=1，右焦点为F（4，0），

直线（t为参数）的斜率等于，故所求直线的普通方程为y-0=（x-4），

化简可得所求直线的普通方程为x-2y-4=0．

（2）直线（t为参数）即 3x+4y+1=0．

曲线ρ=cos(θ+)，即ρ2=ρ （cosθcos-sinθsin）=ρcosθ-ρsinθ，

即 x2+y2=x-y，即 (x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=，表示圆心为C（，-），半径等于的圆．

圆心C到直线3x+4y+1=0 的距离d==，

由弦长公式可得弦长等于2=．