椭圆_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

设椭圆C：+=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值______．

正确答案

设椭圆的焦距为2c，同时可设=，∴c=ta2

∵椭圆C：+=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），

∴+=1

∴b2+4a2=a2b2

∴5a2-c2=a2（a2-c2）

∴5a2-（ta2）2=a2[a2-（ta2）2]

∴t2a4-（t2+1）a2+5=0

∴△=（t2+1）2-20t2≥0时，方程有解

∴t2-2t+1≥0

∴t≥+2，或0＜t≤-2

∴0＜≤-2，或≥+2

∵椭圆C：+=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），

∴椭圆的中心到准线x=＞1

∴椭圆的中心到准线的距离的最小值+2

故答案为：+2

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题型：填空题

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填空题

以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为______．

正确答案

由题意得：|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c

直角三角形MF1F2中

|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2

即（2a-c）2+c2=4c2整理得2a2-2ac-c2=0

a=（2c+2c根号3）/4=（c+c根号3）/2=c（1+根号3）/2

等式两边同除以a2，得+2•-2=0

即e2+2e-2=0，解得e=-1或--1（排除）

故e=-1

故答案为-1

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题型：填空题

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填空题

点P是椭圆+=1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2=90°，△F1PF2面积为______．

正确答案

∵椭圆方程为+=1，

∴a2=16，b2=9．可得c==

因此Rt△F1PF2中，|F1F2|=2，由勾股定理得

|PF1|2+|PF2|2=（2）2=28…①

根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=8…②

①②联解，可得|PF1|•|PF2|=18

∴△F1PF2面积S=|PF1|•|PF2|=9

故答案为：9

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题型：填空题

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填空题

以椭圆+=1的焦点为顶点，离心率为2的双曲线方程为______．

正确答案

∵椭圆+=1的焦点为（±3，0）

∴双曲线的顶点为（±3，0），离心率为2

∴a=3，=2

∴c=6，∴b==3

∴双曲线方程为-=1

故答案为：-=1

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题型：填空题

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填空题

设椭圆+=1(a＞b＞0)的右焦点为F，C为椭圆短轴上的端点，向量绕F点顺时针旋转90°后得到向量，其中C′点恰好落在椭圆右准线上，则该椭圆的离心率为______．

正确答案

设F（c，0），C（0，b）

由题意可知|FC|=|FC'|∠CFC'=90° 所以△CFC'是等腰直角三角形

∴|FC|=|FC'|=a

∵∠CFC'=90°

∴|CC'|=a

∴右准线为x==a 即=

∴离心率e=

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

已知点F1，F2分别为椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，∠F1PF2=，△F1PF2的面积为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点M的坐标为(，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，•是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

正确答案

（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，在三角形PF1F2中，由余弦定理得4=m2+n2-2mncos，由三角形的面积为

所以mnsin=，所以mn=，所以m+n=2，所以a=；又c=1，所以b=1，椭圆C的方程为+ y2 =1；

（Ⅱ）由F2（1，0），直线l的方程为y=k（x-1）．由消去y，（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=

∴•=（x1-，y1）（x2-，y2）=（x1-）（x2-）+y1y2

=（x1-）（x2-）+k2（x1-1）（x2-1）

=（k2+1）-++k2

=+=-由此可知•=-为定值．

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题型：填空题

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填空题

已知P（x，y）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2是焦点，则|PF1|•|PF2|的取值范围是______．

正确答案

由题意可知|PF1|+|PF2|=2a

∴|PF2|=2a-|PF1|（a-c≤|PF1|≤a+c）

∴|PF1|•|PF2|=|PF1|（2a-|PF1|）=-|PF1|2+2a|PF1|=-（|PF1|-a）2+a2∵a-c≤|PF1|≤a+c

∴|PF1|•|PF2|=-（|PF1|-a）2+a2∈[b2，a2]

故答案为：[b2，a2]

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题型：填空题

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填空题

若椭圆+=1(a＞b＞0)上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是______．

正确答案

设椭圆上点为（acosθ，bsinθ）

其到上顶点距离的平方为（acosθ）2+（b-bsinθ）2=a2+b2-2b2sinθ-c2（sinθ）2若≤1，则最大值为a2+b2+=

所以此时椭圆上点到上顶点距离恰好是中心到准线距离，

所以e的范围满足≤1，

即：c2≥b2=a2-c22c2≥a2∴≤e＜1

若＞1，则最大值为4b2，它要等于

a4=4c2（a2-c2）

所以a2=2c2，此时b2=c2，舍去

故答案为[，1)

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题型：简答题

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简答题

从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）求∠F1QF2的范围；

（3）当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20，求椭圆方程．

正确答案

（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），∴M(-c，)，

∵AB∥OM，所以kAB=kOM，即-=-，从而得到b=c，a=c，

∴离心率e=．

（2）设|PF1|=m，|PF2|=n

∴cos∠F1QF2===-1，

又因为mn≤()2=a2，所以0≤cos∠F1QF2≤1，所以∠F1QF2∈[0，]．

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∵kAB=-，所以kF2Q=，所以直线F2Q的方程：y=（x-c）

直线与椭圆联立，消元可得5x2-8cx+2c2=0

∴△=24c2＞0，x1+x2=，x1x2=c2，

由弦长公式可得|PQ|=|x1-x2|==c，

又因为F1到直线y=(x-c)的距离d=c，

因为S=××c2=c2=20，所以c2=25，b2=25，a2=50，

所以椭圆的方程为+=1．

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题型：简答题

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简答题

设椭圆C：+=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

正确答案

（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），

将（0，4）代入C的方程得=1，即b=4

又e==得==；

即1-=，∴a=5

∴C的方程为+=1

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=(x-3)，

设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得+=1，

即x2-3x-8=0，解得x1=，x2=，

∴AB的中点坐标==，

==(x1+x2-6)=-，

即中点为(，-)．

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