椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆 +=1过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足＜e2＜1时，求实数m的取值范围．

正确答案

∵椭圆 +=1过定点A（1，0），

∴a=1 ， c=，e=，

∵＜e2＜1，∴＜1-b2＜1，

∴0＜b＜．

由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=-x（x≥0）的交点．

联立方程，

解得 x=y=．

∵0＜b＜，

∴0＜x＜．

设抛物线方程为：y2=-2p（x-m），p＞0，m＞1．

∵=m-1，

∴y2=4（1-m）（x-m）①

把 y=x，0＜x＜代入①，

得x2+4（m-1）x-4m（m-1）=0，m＞1．

令f（x）=x2+4（m-1）x-4m（m-1），m＞1，

∵f（x）在(0 ， )内有根且单调递增，

∴

即

综上得实数m的取值范围：{m|1＜m＜}．

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题型：填空题

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填空题

已知过椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦点F（-1，0）的弦AB的中点M的坐标是（-，），则椭圆E的方程是______．

正确答案

∵弦AB经过焦点F（-1，0），AB的中点为M（-，），

∴直线AB即直线FM，它的斜率k==1，可得直线AB的方程是y=x+1，

由消去y，可得（a2+b2）x2+2a2x+a2（1-b2）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），根据一元二次方程根与系数的关系，

可得x1+x2=，x1x2=．

∴y1+y2=（x1+1）+（x2+1）=（x1+x2）+2=+2=．

又∵AB的中点为M（-，），

∴（x1+x2）=-且（y1+y2）=，可得x1+x2=-且y1+y2=-．

因此=-且=-，解之得a2=2，b2=1．

∴椭圆E的方程为+y2=1．

故答案为：+y2=1

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线与椭圆可+=1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．

正确答案

依题意可知椭圆方程中a=5，b=3，

∴c==4

∴椭圆焦点为F（O，±4），离心率为e=

所以双曲线的焦点为F（O，±4），离心率为2，

从而双曲线中

求得c=4，a=2，b=2．

所以所求双曲线方程为-=1

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题型：填空题

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填空题

如图，F1，F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是______．

正确答案

∵△POF2是面积为的正三角形，

∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．

∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=+1，

故答案为2．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆+=1的离心率为，求椭圆的短轴长．

正确答案

焦点在x轴上时，

（1）由可得m=，此时方程为+=1，∴2b=；

（2）由，无解；

焦点在y轴上时，

（3）由可得m=，此时方程为+=1，∴2b=；

（4）由，可得m=，此时方程为+=1，∴2b=，

综上：2b=或．

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题型：填空题

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填空题

抛物线y2=-4x上任一点P到椭圆+=1左顶点的最小距离为______．

正确答案

解；∵抛物线y2=-4x上任一点P到椭圆+=1左顶点的最小距离为抛物线顶点到椭圆左顶点的距离，

∴最小距离为4

故答案为4

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题型：简答题

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简答题

连接椭圆+=1（a＞b＞0）的两个短轴的顶点和一个焦点组成一个直角三角形，椭圆相邻两个顶点的距离为3，求a，b的值．

正确答案

∵椭圆方程为 +=1，

由题意知

解得a=，b=．

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题型：填空题

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填空题

以椭圆x2+=1中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______．

正确答案

椭圆x2+=1中心坐标为（0，0），右顶点坐标为（1，0）

所以抛物线的顶点坐标为（0，0），焦点坐标为（1，0）

所以抛物线的标准方程为y2=4x，

故答案为：y2=4x

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A（0，1），离心率e=．求椭圆C的方程．

正确答案

依题意，设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

则，

解得b=1，a=，

∴椭圆C的方程为+y2=1．

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题型：填空题

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填空题

如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若cos∠F1BF2=，则直线CD的斜率为______．

正确答案

∵cos∠F1BF2=

∴2cos2∠OBF1-1=

∴cos∠OBF1=即=

∴e==

∵-=kBD•kCD=-•kCD，

∴kCD=，

∴kCD==

故答案为：

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