椭圆_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

设F1，F2是椭圆+=1(a＞b＞0)的左右焦点，若该椭圆上一点P满足|PF2|=|F1F2|，且以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF1有公共点，则该椭圆离心率e的取值范围是______．

正确答案

∵点P在椭圆C上，∴根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a．

又∵|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a-2c

过点F2作F2D⊥PF1于D点，过点O作OE⊥PF1于E点，

∵|PF2|=|F1F2|，

∴△PF1F2是等腰三角形，可得D是PF1的中点，DF1=|PF1|=a-c，

Rt△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，

∴|DF2|===．

∵△DF1F2中，OE是中位线，∴|OE|=|DF2|=．

又∵以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF1有公共点，

∴原点O到直线PF1的距离小于b，即|OE|≤b，得≤b，

化简得3c2+2ac-a2≤4（a2-c2），即7c2+2ac-5a2≤0，两边都除以a2得7e2+2e-5≤0，解之得-1≤e≤．

结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得0＜e≤．

又∵等腰△PF1F2中，|PF2|+|F1F2|＞|PF2|，

∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=＞．

综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是(，]．

故答案为：(，]

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的焦距为2c，且a，b，c依次成等差数列，则椭圆的离心率为 ______．

正确答案

∵a，b，c依次成等差数列，∴2b=a+c，又 a2-b2=c2，∴a2-(

a+c

2

)2=c2，

即 3a2-5c2-2ac=0，∴-5e2-2e+3=0，e= 或 e=-1（舍去）．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆：+=1．

（1）若点（x，y0）为椭圆上的任意一点，求证：直线+=1为椭圆的切线；

（2）若点P为直线x+y-4=0上的任意一点，过P作椭圆的切线PM、PN，其中M、N为切点，试求椭圆的右焦点F到直线MN的距离的最大值．

正确答案

（1）由题意，x02+2y02=8，即2y02=8-x02，…①

由，

则（2y02+x0 2）x2-16x0x+64-16y02=0，（4分）

代入①式，得x2-2x0x+x02=0，

则△(-2x0)2-4x02=0，

∴直线为椭圆的切线（6分）

（2）设P（x0，y0），则x0+y0-4=0，即x0=4-y0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则由（1）知，PM，PN切线方程为，

且过P（x0，y0），则，

∴MN所在直线方程为+=1，

即x0x+2y0y-8=0，（10分）

设所求距离为d，且F（2，0），

则d=

=

=，

∴当y0=4时，dmin=1．（15分）

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题型：填空题

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填空题

关于方程x2+2y2-ax+ay-a-1=0（a∈R）表示的椭圆，给出以下四个命题：①椭圆的中心在一条直线上运动；②椭圆的大小不变；③不论a取什么值，椭圆总过两个定点；④椭圆的离心率不变．其中错误命题的个数是______．

正确答案

椭圆的方程化简得+=1

则椭圆的中心为（，-）在直线y=x上运动，故①正确．

e==，

∴椭圆的离心率不变，故④成立．

随a的变化，和均变化，故②不成立．

椭圆的方程又可写成x2+2y2-1+a（-x+y-1）=0，令，消y得3x2+4y+1=0

根据△=16-12＞0，可知方程组有两组解．故③成立．

∴命题中只有②不成立

故答案为：1

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆的标准方程+=1，则椭圆的焦点坐标为______，离心率为______．

正确答案

因为椭圆的标准方程+=1，所以a=3，b2=8，所以c=1，

椭圆的焦点坐标在y轴上，坐标为（0，1），（0，-1）．

椭圆的离心率为：=．

故答案为：（0，1），（0，-1）；．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为，

（1）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；

（2）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

正确答案

（1）∵椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为，

∴．解得a=2，b=1，∴+y2=1

显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．（5分）

由得（1+4k2）x2+16kx+12=0．∵△=（16k）2-4×12（1+4k2）＞0，

∴k∈(-∞，-)∪(，+∞)

又x1+x2= ，x1x2=

由0°＜∠AOB＜90°⇔•＞0．∴•=x1x2+y1y2＞0．

所以•=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+2k+4＞0∴-2＜k＜2．

由此得：k∈(-2，-)∪(，2)．

（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．

当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为+=1，由d=1得+=1，

当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为-，Q(x2，-x2)

由，得=+（1），同理=+

在Rt△OPQ中，由d•|PQ|=|OP|•|OQ|，即|PQ|2=|OP|2•|OQ|2

所以(x1-x2)2+(kx1+)2=[x12+(kx1)2]•[x22+()2]，化简得+=1+k2，

分k2(+)++=1+k2，

即+=1．

综上，d=1时a，b满足条件+=1

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的两个焦点F1(-，0)，F2 (，0)，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使•恒为定值，求m的值．

正确答案

（I）由题意可得 c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，

故椭圆的方程为 +=1．

（Ⅱ）设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．

代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，

∴x1+x2=，x1•x2=．

∵•=（m-x1，-y1 ）•（m-x2，-y2）=（m-x1）（m-x2）+y1y2

=（m2+k2）+（1+k2）x1•x2-（m+k2）（x1+x2）

=（m2+k2）+（1+k2）-（m+k2）（）

= 恒为定值，

∴= 4，

∴m=．

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题型：填空题

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填空题

椭圆的右焦点F所对应的准线l与对称轴的交点为A，B是线段FA的中点，若以椭圆上的一点M为圆心，线段OF（O为坐标系原点）为半径的圆恰好经过F，B两点，则椭圆的离心率为 ______．

正确答案

根据题意：F（c，0），A（，0）

∴B（，0）

∵以M为圆心，线段OF=c为半径的圆恰好经过F，B两点，

∴M点在x轴上的身影是F，B的中点

∴其横坐标是：

∴M点到右焦点的距离为：c，到右准线的距离为：||

又M为椭圆上的点

∴e==，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若椭圆+=1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被y2=bx焦点分为3：1两段，则此椭圆的离心率为______．

正确答案

y2=bx焦点坐标是，由题意可知，=，

∴b=2c，∴a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，

∴a=c，e=．

答案：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆+=1，左焦点为F，右顶点为C，过F作直线l与椭圆交于A，B两点，求△ABC面积最大值．

正确答案

由题意知：|FC|=a+c=2+1=3，F（-1，0），

设AB的直线方程x=my-1，不妨设直线AB与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），

⇒（3m2+4）y2-6my-9=0，则y1+y2=，y1y2=-，

S△ABC=×|FC|×|y1-y2|=×3×=18×=18×，

设t=m2+1≥1，函数g（t）=9t+，g′(t)=9-，∵t≥1，g′（t）＞0

∴函数在[1，+∞）单调递增，

∴m2+1=1时，S△ABC最大，且最大值为

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正确答案

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