热门试卷

解：(Ⅰ)根据题意，得，

∴，

∴，

又，∴，

∴，

∴，

∴椭圆C的方程为。

(Ⅱ)假设存在直线l满足条件F是三角形MPQ的垂心，

∵kMF=-1，且FM⊥l，

∴k=1，

∴设直线PQ方程为y=x+m，且设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由，消y得，，

，

且，

∴

，

又F为△MPQ的垂心，∴，

∴，

又，

∴

，

∴，

∴3m2+m-4=0，m=，m=1，满足m2＜3，但m=1时P与M点重合，舍去，

∴存在满足条件直线l，其方程为3x-3y-4=0。

解：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆上，

∴，曲线C的方程为．

（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，　

代入曲线C的方程，可得，

∵0＜t＜2，

∴，　

∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）

设点A，B的坐标分别，则，

要使∠ANB被x轴平分，只要，

即，，

也就是，，

即，即只要（nt-4）s=0，

当时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分，

所以在x轴上存在定点，使得∠ANB总能被x轴平分。

解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，

解得，（舍去），

所以，椭圆方程为。

（2）设直线AE方程为：，

代入得

，

设E（xE，yE），F（xF，yF），

因为点在椭圆上，

所以，，

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得

，，

所以直线EF的斜率为，

即直线EF的斜率为定值，其值为。

解：（Ⅰ）由题意，即，，

∴ 

∴ 椭圆的方程可设为

代入，得           

 解得   

∴ 所求椭圆的方程是．

（Ⅱ）法一

由方程组   消去，得  

由题意，△  

整理得：①

设，的中点为，

则，   

由已知，  即即  ;

整理得：  

代入①式，并整理得：，   即  

∴                     

（Ⅱ）法二,

由方程组   消去，

得    

由题意，△  

整理得：                           ①

设，的中点为，

则  整理得：      ②

又  ∴                      ③          

由②、③解得   代入，

得   

代入①式，并整理得： ，   即  

∴               

 法三：

由在椭圆内部，得：    

整理得： ，  

即  ∴         

解：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0， 　　

依题意得，解得：，　　

∴椭圆方程为。

（2）假若存在这样的k值，

由得， 　

∴， 　　　　　　　　　　　　　　① 　　

设，则，　　　 　② 　　

而， 　　

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，

即， 　　

∴， 　　　　　　　　　③ 　　

将②式代入③整理，解得 经验证，，使①成立；

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E。

解：（1）易知椭圆右焦点F（1，0），

∴c=1，

又抛物线的焦点坐标为，

∴b=，b2=3，

∴，

∴椭圆C的方程为。

（2）易知，且与y轴交于，

设直线与椭圆交于，

由，

∴，

∴，

又由，

∴，

∴，同理，

∴，

∵，

∴，

所以，当m变化时，的值为定值。

（3）先探索，当m=0时，直线轴，

则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交，FK的中点N，且，

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点，

证明：由（2）知，，

∴，

当m变化时，首先证直线AE过定点，

∵：，

当时，

    ，

∴点在直线上，

同理可证也在直线上，

∴当m变化时，AE与BD相交于定点。

解：（1）由已知A是双曲线的右准线与x轴的交点，B为双曲线的右顶点，

双曲线方程，

∴

∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．

∴

∵D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，

∴

∴

∴所求椭圆的方程为；

（2）由（1）知，C（2，0），E（﹣2，0），

设直线EM的方程为：y=k（x+2），P（，）

∵MC⊥CE，

∴M（2，4k）

将y=k（x+2）代入

整理得（1+2k2）+8k2x+8k2﹣4=0

∵

∴

∴

∴P（）

设Q（，0），≠﹣2

若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP

∴

∵，

∴=0

∴

∴=0

∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点．

解：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），

则有=2p（x≠0），

据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，

易求C2：y2=4x，

设C1：=1（a＞b＞0），

把点（-2，0）（）代入得

解得，

∴C1方程为；

（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），

设其方程为x-1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，

得=0（*）

由消去x，

得（m2+4）y2+2my-3=0，△=16m2+48＞0，

∴①

②

将①②代入（*）式，得

解得m=±，

∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点F，

l的方程为：2x±y-2=0。

解：（Ⅰ）因为抛物线C1的焦点是F1（-1，0），则，得a=2，

则，故椭圆C的方程为；

（Ⅱ）显然直线l的斜率不存在时不符合题意，可设直线l：，

设，，由于，

则，

联立，得，

则，...........① ，..............②，

将代入①、②得：，..............③ ，

.....④ ，

由③、④得，，，

（i）若时，，

即，

直线GD的方程是；

（ii）当时，同理可求直线GD的方程是。