椭圆_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线，两焦点为，过作轴的垂线交双曲线于两点，且内切圆的半径为，则此双曲线的离心率为 ▲ .

正确答案

两焦点为，则

的周长为

所以即;解得

（舎去）

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题型：简答题

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简答题

设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上位于轴上方的动点（Ⅰ）当取最小值时，求点的坐标；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由.

正确答案

解：（Ⅰ）设，，则

因为在椭圆上，所以，

，当时，取得最小值，此时点的坐标为.

（Ⅱ）设两个顶点为B，C，显然直线AC斜率存在，不妨设AC的直线方程为，代入椭圆的方程中可得，解得（即A点的横坐标），

由弦长公式得：

同理：z

由，即，化解得：

，即.

考虑关于的方程，其判别式

（1）当时，，其两根设为，由于，故两根必为正根，显然，故关于的方程有三解，相应地，这样的等腰直角三角形有三个.

（2）当时，，此时方程的解，故方程

只有一解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.

（3）当时，显然方程只有这一个解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.

综上：当时，这样的等腰直角三角形有三个；当时，这样的等腰直角三角形只有一个.

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知椭圆与射线y＝（x交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，

它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．

（Ⅰ）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值；

（Ⅱ）求三角形ABC的面积最大值．

正确答案

,

解：（Ⅰ）由题意得，设的斜率为，则的斜率为－，

所以，代入得，又，

；同理．

为定值．……………………8分

（Ⅱ）设方程为，由得

，得，到的距离为；

所以．

当时，即时“＝”成立，此时成立．……………………14分

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ______________.

正确答案

设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得

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题型：简答题

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简答题

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，是左焦点且到直线的距离，求椭圆的离心率．

正确答案

由△△得，，

所以，，

，得．

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题型：填空题

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填空题

椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆与P、Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是

正确答案

试题分析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值．

设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my-9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

，

所以内切圆面积的最大值是。

点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值，解题的关键是转化为求△F1PQ面积的最大值．

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题型：简答题

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简答题

. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点以及椭圆

的上、下焦点及左、右顶点均在圆上.

(1)求抛物线和椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交抛物线于、两不同点,交轴于点，已知为定值.

正确答案

解：（Ⅰ）由焦点在圆上得:\

所以抛物线：

同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：

得椭圆：

总之，抛物线：、椭圆：

（Ⅱ）设直线的方程为，，则.

联立方程组消去

得:，

，故

由，得，

整理得，，

略

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题型：简答题

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简答题

(本题满分12分)如图，已知椭圆焦点为，双曲线，设是双曲线上异于顶点的任一点，直线与椭圆的交点分别为和。

1. 设直线的斜率分别为和，求的值；

2. 是否存在常数，使得恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

3.

正确答案

解：（1）设点那么

则

又点在双曲线上，所以

所以

（2）设直线

由方程组得

设

则

由弦长公式得

同理设，

由（1）得，，代入得

，则

则存在，使得恒成立。

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）若卫星运行轨道椭圆的离心率为，地

心为右焦点，

（1）求椭圆方程；

（2）若P为椭圆上一动点，求的最小值。

正确答案

解：（1）椭圆标准方程……………………2分

∵， …………………………………………………4分

∴，……………………………………………6分

所以椭圆标准方程为，………………………………………8分

（2）设P，因为P为椭圆上，∴，即………10分

，

当时，取得最小值……………………………14分

略

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点A，且离心率e＝.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点B(－1,0)能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

略

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