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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在多面体中,,且中点。

(1)求证:⊥平面

(2)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)找BC中点G点,连接AG,FG,

∴F,G分别为DC,BC中点,∴FG,

∴四边形EFGA为平行四边形,

,∵AE,

,又∵,

∴平面ABC平面BCD。

又∵G为BC中点且AC=AB=BC ,∴AGBC,

∴AG平面BCD, ∴EF平面BCD 。

(2)以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系

设平面CEF的法向量为,由  得 ,

平面ABC的法向量为,则

∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为

知识点

直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF。

(1)求证:BD⊥平面AED;

(2)求二面角F-BD-C的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,

由余弦定理可知,

,在中,∠DAB=60°,,则为直角三角形,且。又AE⊥BD,平面AED,平面AED,且,故BD⊥平面AED;

(2)

由(Ⅰ)可知,设,则,建立如图所示的空间直角坐标系,,向量为平面的一个法向量.

设向量为平面的法向量,则,即

,则,则为平面的一个法向量.

,而二面角F-BD-C的平面角为锐角,则

二面角F-BD-C的余弦值为

知识点

直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四面体中,平面.的中点, 是的中点,点在线段上,且.

(1)证明:平面;

(2)若二面角的大小为,求的大小。

正确答案

见解析。

解析

(1)方法一:如图6,取的中点,且中点,所以.因为中点,所以;又因为(Ⅰ),所以,所以面,且,所以;

方法二:

如图7所示,取中点,且中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以;

(2)如图8所示,由已知得到面,过,所以,过,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以

,

中,,所以在中, ,所以在

.

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.

 (1)求证:AD⊥平面CFG;

(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.

正确答案

见解析

解析

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点。

(1)证明B1C1⊥CE;

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;

(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长。

正确答案

见解析

解析

(方法一)

(1)

证明:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0)。

易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,

所以B1C1⊥CE.

(2)=(1,-2,-1)。

设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),

消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1)。

由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1

=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量。

于是cos〈m〉=

从而sin〈m〉=.

所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.

(3)=(0,1,0),=(1,1,1)。

=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=(λ,λ+1,λ)。

可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量。

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则

sin θ=|cos〈〉|=

.

于是,解得

所以AM=.

(方法二)

(1)

证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1

所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E=,B1C1,EC1

从而B1E2

所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,

又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1

所以B1C1⊥平面CC1E,

又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE.

(2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G.

由(1),B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,

所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角。

在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.

在Rt△B1C1G中,B1G=

所以sin∠B1GC1

即二面角B1-CE-C1的正弦值为.

(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角。

设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=,AH=.

在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1,得EH=.

在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,

由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得

整理得5x2-6=0,解得x=.

所以线段AM的长为.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1.

(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;

(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小。

正确答案

见解析

解析

(1)

证法一:由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立直角坐标系,如图。

∵AB=AA1

∴OA=OB=OA1=1,

∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1)。

,易得B1(-1,1,1)。

=(-1,0,-1),=(0,-2,0),

=(-1,0,1),

·=0,·=0,

∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1

∴A1C⊥平面BB1D1D。

证法二:∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥BD。

又∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面A1OC,∴BD⊥A1C。

又∵OA1是AC的中垂线,∴A1A=A1C=,且AC=2,∴AC2=AA12+A1C2,∴△AA1C是直角三角形,∴AA1⊥A1C。

又BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,∴A1C⊥平面BB1D1D。

(2)解:设平面OCB1的法向量n=(x,y,z),

=(-1,0,0),=(-1,1,1),

n=(0,1,-1),

由(1)知,=(-1,0,-1)是平面BB1D1D的法向量,

∴cos θ=|cos〈n〉|=.

又∵0≤θ≤,∴

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

如图,在四棱锥中,平面平面 ,,,.

(1) 证明:平面;

(2) 求二面角的大小.

正确答案

见解析

解析

(1)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC= ,

 ,AB=2得 ,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,

从而AC⊥平面BCDE,

所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而

DE⊥平面ACD;

(2)方法1

作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AB交于点G,连接BG,由(1)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而

BD⊥AB,由于AC⊥平面BCDE,得

AC⊥CD。

在Rt△ACD中,由DC=2, ,得 ;

在Rt△AED中,由ED=1, ;

在Rt△ABD中,由 ,AB=2,

 , ,从而 ,

在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得 , 。

在△BFG中, 

所以,∠BFG= ,即二面角B-AD-E的大小为 。

方法2:以D的原点,分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示.

由题意知各点坐标如下: , , , , 。

设平面ADE的法向量为

平面ABD的法向量为,可算得:

 , ,

 即 ,可取

可取

于是

由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小为

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在三棱锥中,底面的中点, 的中点,.

(1)求证:平面

(2)求与平面成角的正弦值;

(3)设点在线段上,且平面,求实数的值.

正确答案

见解析

解析

(1)证明:因为 底面底面

所以 ,                                         ……………… 1分

又因为

所以 平面,                                   ……………… 2分

又因为 平面

所以 .                                          ……………… 3分

因为 中点,

所以

又因为

所以 平面.                                     ……………… 5分

(2)解:在平面中,过点

因为 平面

所以 平面

底面,得两两垂直,

所以以为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴如图建立空间直角坐标系,

.

……………… 6分

设平面的法向量为

因为

 得

,得.      ……………… 8分

与平面成角为

因为

所以

.                                       ……………… 10分

(3)解:因为

所以

又因为

所以 .                ……………… 12分

因为 平面,平面的法向量

所以

解得 .                                              ……………… 14分

知识点

直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在四面体中,平面,.的中点,的中点,点在线段上,且.

(1)证明:平面

(2)若二面角的大小为,求的大小.

正确答案

见解析

解析

证明(1)方法一:如图6,取的中点,且中点,所以。因为中点,所以;又因为(Ⅰ),所以,所以面,且,所以

方法二:如图7所示,

中点,且中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以

(2)如图8所示,

由已知得到面,过,所以,过,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以

中,,所以在中, ,所以在

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点。

(1)证明:MN∥平面ABCD;

(2) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。

(1)如图连接BD.

∵M,N分别为PB,PD的中点,

∴在PBD中,MN∥BD。

又MN平面ABCD,

∴MN∥平面ABCD;

(2)如图建系:

A(0,0,0),P(0,0,),M(,0),

N(,0,0),C(,3,0)。

设Q(x,y,z),则

,∴

,得:。   即:

对于平面AMN:设其法向量为

。  ∴

同理对于平面AMN得其法向量为

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质用向量证明平行二面角的平面角及求法
下一知识点 : 空间向量及其应用、空间角
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