热门试卷

(Ⅰ)

证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以 DE// AC1．

因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（，），

因为 点D在线段AB上，且，即．

所以，，，, ,．

平面BCD的法向量为． 设平面B1 CD的法向量为，

由，， 得 ，

所以 ，，.所以  ．

所以二面角的余弦值为．

解:

（Ⅰ）

（Ⅱ）由（2）知，

方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．

（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．

作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．

由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，．

在Rt△AMN中，．

在Rt△NCH中，．

在Rt△MNH中，∵，∴．

故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．

（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，

∴点N到平面MAC的距离为．

∵点N是线段BC的中点，

∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．

方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设P（0，0，z），则．．

∵，

且z＞0，∴，得z=1，∴．

设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由

得得∴．

平面ABC的一个法向量为．．

显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．

（3）点B到平面MAC的距离．

（1）定义域D =[－1，1] 值域 A=

（2）在 上任取，且，

则，

得，

得 ；

同理 由在上单调递增得  ；

所以  。

由得

（3）由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g（x）的单调性

①  当 t≤0时，函数 g（x） = x 3－3tx + 在 x∈[0，1]单调递增，∴B = [，]，

∴，

②  当 0 < t < 1 时，函数 g（x）的减区间为：；g（x）的增区间为：[，1]．

g（x）在 x = 达到最小值。

 此与0 < t < 1矛盾。

③  当t≥1时，函数 g（x） 在区间 [0，1]单调递减，

∴B = []

∴

综上所述：t的取值范围是：

（1）PC＝2；（2）①tan∠PEF的值不变．②线段EF的中点经过的路线长为．